Arbeitsintegral entlang einer Parabel berechnen?

Question

Hey,

kann jemand diese Aufgabe lösen? (Klausurvorbereitung)

Aufgabe 6. Berechnen Sie das Arbeitsintegral von

F (x, y) =

x	+	y
x	·	y

entlang einer Parabel von (−1/3) über (1/5) nach (3/ − 1).

MfG,

mistermathe

Comments

Kannst du die Gleichung der Parabel durch die drei gegebenen Punkte nicht selber bestimmen? Quasi als Vorarbeit. 

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von (−1/3) über (1/5) nach (3/ − 1).

Parabel  y = ax^2 + bx + c gibt 

3 = a   - b  +  c
5 = a  +b   + c 
-1 = 9a +3b +c 

(2) - (1) gibt   2 = 2b ==>   b= 1  
also wird aus (2) und (3)  
       5 = a  +1   + c    und  -1 = 9a +3 +c 
==>    4 = a   + c    
und  - 4  = 9a +c 
untere minus obere gibt 
             -8  = 8a  ==>   a = -1   und damit  
                   4 = -1 + c ==>    c=5 
Parabel:    y =  -x^2 +x + 5 
Hast du eine Idee für das Integral ?

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Jetzt könnte man doch wie http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Vektoranalysis/Folien_Arbeitsintegral.pdf Folie 2-4 (Weg dort Viertelkreis) rechnen. Hier die geklaute Folie:

Parametrisierung x = t ist vielleicht nicht das einfachste, sollte aber machbar sein (?) 

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Stimmt meine Eingabe bei WA so 

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(+x%2B+(-x%5E(2)+%2Bx+%2B+5),+x*(+-x%5E(2)+%2Bx+%2B+5++))+*+(x,++-x%5E(2)+%2Bx+%2B+5++)+from+x%3D-1+to+x%3D3 ? 

EDIT: Stimmt noch nicht ganz! Vgl. mein Kommentar unterhalb der Antwort von mathef. Ich weiss noch nicht, wie ich WA dazu bringe die Ableitung [ r' auf der Folie] auch gleich zu berechnen. 

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Gehören eigentlich Fragen zu Integration in Vektorfeldern auch in die nanolounge? Bsp. https://www.mathelounge.de/228526/integration-vektorfeld-uber-kurve-c und ähnliche Fragen dazu ? D.h. in welchem Forum nützen die bereits vorhandenen Antworten mehr? 

Answer 1

Ich denke eher so:

$$ \int_{p}^{}F dp  $$$$= \int_{-1}^{3}\begin{pmatrix} x+y\\x*y \end{pmatrix}*p ' (x) dx  $$Parabelgleichung einsetzen$$= \int_{-1}^{3}\begin{pmatrix} x+(-x^2 +x + 5) \\x*(-x^2 +x + 5 ) \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1\\-2x+1 \end{pmatrix} dx  $$$$= \int_{-1}^{3}(2x^4-3x^3-10x^2+7x+5)dx =\frac{-116}{15} $$

Comments

Ja. Klar. Danke. WA leitet mir nicht ab. Ich kann das aber selber und gebe so ein:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(+x%2B+(-x%5E(2)+%2Bx+%2B+5),+x*(+-x%5E(2)+%2Bx+%2B+5++))+*+(1,++-2x%2B1++)++from+x%3D-1+to+x%3D3