kugel als exemplarischer Fall für beliebige, genaue Berechnung einer Verformung durch krafteinwirkung

Question

Habe folgendes Problem: Annahme - Kugel wird in Elastomer gepresst, daraus folgt, daß die gleichmäßig aufgeteilten Gitternetzflächen mit unterschiedlich großem Druck belastet werden (siehe Bild A, Querschnitt der Kugel). Auf die Einzelflächen wirkt die gleiche Kraft. Die Kugel wurde in gleichmäßige Abschnitte, daraus ergeben sich unterschiedlich große Gitternetzflächen, eingeteilt, die alle die gleiche Bogenlänge, pro Flächensegment haben. Flächenberechnung, siehe Bild B!!! Lege ich jetzt die Tangenten an den Kreisradius, ergibt sich ein unterschiedlicher Anstieg für diese, siehe Bild A, 1 und 2! dabei gilt:

Druckänderung p1 größer als p2, dy1/dx1>dy2/dx2

, daraus folgt, daß der Druck vom Anstieg der Tangenten, die erste Ableitung des Kreises in den jeweiligen Punkten, genau zuordenbar ist und dies für eine beliebige Belastung, Biegung Stab usw. Kugel ist exemplarisch für alle Körper, die zb. gebogen werden, sich verformen! Bei dieser Biegung ist immer der Kreisradius ermittelbar, Ausdruck für den Druck der auf die einzelnen Teilflächen wirkt. Kugel: Körper mit der geringsten Oberfläche bei vorgegebenen Volumen, deshalb ist bei einer Biegung eines beliebigen Körpers, dieses Kugelmodell aussagekräftig. Tangentenanstieg Kugel: m=2x erste Ableitung nach x Kreisgleichung damit ergibt sich für p, den Druck folgende lineare Gleichung:

p=p₀*(1-m),

p₀ ist dabei der auftretende Maximaldruck bei x=0, da ist m=0, der andere Grenzfall ist m=1 bei x=r, da ist m=1 und p=0

Man sieht, das beim Einsetzen von Werten, daß die Druckänderung in Richtung r zunimmt, von x=0 aus!!!!

Beispiel: Kreissegment

gegeben sei die Durchbiegung f, die Winkeländerung ß und die Kraft F!!!!

Radius r=(4h^2+s^2)/8h

Bogenmaß b ergibt sich aus b=2*pi*r*ß/360°

damit ist der Druck p(r) für p₀ bei x=0 ermittelbar, genau und nicht wie bisher linear sondern als quadratische Gleichung in Abhängigkeit vom Anstieg der Tangente!!!! Mit dieser Berechnungsform sind exaktere Werte zwischen x größer 0 und x kleiner r ermittelbar, als bisher!!! Bessere gleichmäßigere Vernetzung als bisher, genauere Berechnungen mit Rechner möglich!!!!! Sind diese Angaben korrekt????? Dies ist meine Frage!!!!!

PS: Habe zu viel Zeit!!!!!!!!

Comments

Ganz am Anfang: Warum wirkt auf die Einzelflächen die gleiche Kraft?

Und danach: näherst du jede Durchbiegung als Kreis an? Was ist mit einem beidseitig fest eingespannten Balken, der ist an beiden Seiten horizontal und biegt sich durch, also keine Kreisform.

Und von welchem Druck sprichst du, konkret bei dem Beispiel mit dem gelagerten Balken. Innere Spannungen?

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Die Flächensegmente der Kugel sind doch unterschiedlich groß!!!! Je kleiner der Druck ist, desto größer ist die bei der Kugel die wirksame Fläche für diesen Druck, in die jeweilige Richtung natürlich, gleichmäßige Vernetzung vorausgesetzt!!!! Der Balken hat auch eine Krümmung, die ist 1/r!!!! Balken: hat Druck- oder Zugspannung durch die Biegung. Neutrale Faser hat natürlich keine Spannung!!!!!

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Dein Spannungsminimum ist jetzt bei x=r, soll x deine Koordinate entlang der Mittelachse sein, d.h. du teilst deinen Balken in infenitessimale Stücke der Länge r?

PS: Achte ein bisschen auf deine Satzzeichen!!!!

Ist echt unschön zu lesen!!! Wenn nach jedem Satz eine Horde davon ist, oder????

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Ja. Die Vernetzung erfolgt in x-Richtung, je feiner die Vernetzung ist, mit Rechner möglich, desto genauer ist das Ergebnis. Mit Rechner müssten also möglichst viele i die Gesamtspannung, bzw. den Gesamtdruck ergeben, wenn man dann die Endsumme aller Einzelspannungen bildet. Per Hand müsste dies ein Integral sein, für die Gesamtspannung, bzw. den Gesamtdruck aller Einzelflächen bezogen auf die Gesamtlänge des Bauteiles. Das Spannungsminimum ist wie erwähnt bei x=r, das Maximum bei x=0!

Hatte ja schon geschrieben, daß Kugel exemplarisch für andere Formen von Körpern steht. Es wird immer ein Radius, in Bezug auf die Biegung oder den Druck auftreten.

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Korrigier mich, wenn ich mich irre:

Die Bernoulli-Balken-Theorie geht doch auch von der Krümmung 1/r aus und berücksichtigt zusätzlich noch den geometrischen Querschnitt über Flächenträgheitsmomente. Das fällt bei dir komplett weg.

In ersten Schritt sprichst du auch von dem Druck der entsteht, wenn man eine Kugel irgendwo reindrückt. Das wäre ja eine Normalspannung auf der Kugeliberfläche. Wie kommst du von dieser Normalspannung auf der Oberfläche auf die Normalspannung im Inneren des Balkens? Dieser Schritt wird mir nicht klar.

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Ich habe nur die Normalspannung auf der Kugeloberfläche berechnet, in x-Richtung! Die ist ja am Größten, wenn man den Querschnitt des, zb. Balken, Körpers sich betrachtet. Neutrale Faser hat keine Spannung! Für die Spannung innerhalb der Körper muß wie bei jeder ordentlichen Spannungsberechnung, der Faserabstand berücksichtigt werden. Die Spannung innerhalb des Körpers wird aber geringer sein als auf der Oberfläche!

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Aber du beachtest nur die Spannung auf der 'Außenseite', also der dem Krümmungsmittelpunkt abgewandten Seite, oder?

Wenn du einen Balken jetzt wie in dem Bild fest eingespannt hast, rechts eine Kraft nach unten wirkt und zusätzlich eine Kraft in Balkenrichtung angreift:

Jetzt verschiebt sich die neutrale Faser und die maximale Spannung ist nicht mehr unbedingt auf dieser Oberfläche, sondern könnte auch auf der Gegenseite auftreten.

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Ich habe nur die Spannung auf der Außenseite genau berechnet. Bei Deiner Annahme müsste auch eine Krümmung entstehen. Balken: Biegespannung und Druckspannung durch Quer- und Längskraft also, oder?

Die Gesamtverformung müsste demnach diese beiden Kräfte berücksichtigen. Die Längskraft ist doch für alle Querschnitte in x-Richtung gleich groß! Durch die Längskraft entsteht ein Innendruck. Kommt es zu einer Biegung des Stabes hat die Längskraft natürlich auch ein Biegemoment, F*Durchbiegung, dies müsste bei der Gesamtverformung mit berücksichtigt werden.

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Ich gehe hier standardmäßig von Bernoulli aus, mit hinreichend kleinen Verformungen.

Für größere Verformungen gibt's mMn noch Balkentheorie 2. und 3. Ordnung.

Wenn du schon von der Verformung sprichst:

Die Biegelinie müsste man bei deinem Ansatz messen, oder? Lässt sich also nicht mathematisch annähern.

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Eigentlich schon!

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Wenn natürlich der Elastizitätsmodul vorhanden ist, die Berechnung also in umgekehrte  Richtung erfolgt, ist die Durchbiegung bei gegebener Kraft ermittelbar.

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In umgekehrter Richtung? Also zuerst Spannungen und dann Biegung?

Für die Spannung braucht man doch die Krümmung, die mit der Durchbiegung zusammenhängt.

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Es muß immer ein Radius auftreten bei Durchbiegung. Deshalb ist dann die Druchbiegung auch ermittelbar.

Da müsste die Gesamtspannung gegeben sein und der Kreis müsste ermittelt werden, bzw. der Radius desselben und dann ist damit wieder die Durchbiegung ermittelbar, also in umgekehrte Richtung rechnen!

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Wenn die Geometrie des Balken gegeben ist, die äußeren Kräfte und die Koordinaten des Kraftangriffspunktes, das Elastizitätsmodul, dann ist daraus der sich ergebende Radius für die Durchbiegung ermittelbar. Wie gesagt die Rechnung in entgegengesetzte Richtung. Ist die Durchbiegung gegeben, kann bei bekannter Kraft das Elastizitätsmodul ermittelt werden. Hin und Her.

Answer 1

In welchem Fall ist denn die Gesamtspannung gegeben? Gegeben ist doch Belastung und Balkengeometrie.