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1) Welche Scheinkräfte wirken nach dem Schuss im Bezugssystem des Schützen auf die Kugel?
Im Bezugssystem des Schützen, der sich auf einem sich drehenden Drehteller befindet, wirken nach dem Schuss auf die Kugel zwei Arten von Scheinkräften:
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Zentrifugalkraft: Eine scheinbare Kraft, die radial nach außen wirkt und die Kugel vom Drehzentrum weg zu beschleunigen scheint.
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Corioliskraft: Eine scheinbare Kraft, die auf bewegte Objekte in einem rotierenden Bezugssystem wirkt. Sie steht senkrecht zur Bewegungsrichtung des Objekts und zur Rotationsachse.
2) Berechnen Sie die Beiträge dieser Scheinkräfte und fertigen Sie eine Skizze an
Um die Kräfte zu berechnen, benötigen wir die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) des Drehtellers. Die Umdrehungsdauer \(T\) ist 15 s, weshalb:
\(
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{15} \, \text{s}^{-1}
\)
-
Zentrifugalkraft \(F_z\) wird berechnet durch:
\(
F_z = m \cdot r \cdot \omega^2
\)
wobei \(m = 0,2\, \text{kg}\) die Masse der Kugel, \(r = 2\, \text{m}\) der Abstand zum Drehzentrum ist. Also,
\(
F_z = 0,2 \cdot 2 \cdot \left( \frac{2\pi}{15} \right)^2 = 0,4 \cdot \frac{4\pi^2}{225} \approx 0,35 \, \text{N}
\)
-
Corioliskraft \(F_c\) wird berechnet durch:
\(
F_c = 2m \cdot v \cdot \omega
\)
wobei \(v = 2\, \text{m/s}\) die Geschwindigkeit der Kugel ist. Damit ergibt sich:
\(
F_c = 2 \cdot 0,2 \cdot 2 \cdot \frac{2\pi}{15} = 0,8 \cdot \frac{2\pi}{15} \approx 0,34 \, \text{N}
\)
Zur Skizze: Eine exakte Skizze kann hier nicht dargestellt werden, aber man kann sich vorstellen, dass die Zentrifugalkraft radial nach außen vom Drehzentrum weg zeigt, und die Corioliskraft rechtwinklig zur Bewegungsrichtung und zur Rotationsachse, beeinflusst durch die Richtung der Bewegung und die Drehrichtung des Tellers.
3) Neben der Scheibe des Schützen steht eine Frau. Welche Kräfte und Scheinkräfte wirken im Bezugssystem der Frau auf die Kugel vor und nach dem Schuss?
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Vor dem Schuss: Im Bezugssystem der Frau, die außerhalb des rotierenden Systems steht, wirken keine Scheinkräfte auf die Kugel. Die Kugel befindet sich in Ruhe oder bewegt sich gleichförmig mit dem Drehteller mit. Lediglich die Gravitationskraft wirkt auf die Kugel.
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Nach dem Schuss: Nach dem Schuss unterliegt die Kugel nur der Schwerkraft und der anfänglichen Bewegung, die ihr verliehen wurde, da es sich um eine reibungs- und rotationsfreie Flugbahn handelt. Scheinkräfte, wie sie im rotierenden Bezugssystem auftreten, existieren im Bezugssystem der Frau nicht.
4) Berechnen Sie die Flugzeit, nach der die Kugel auf den Boden einschlägt
Die Flugzeit \(T_f\) der Kugel kann mit der vertikalen Komponente der Anfangsgeschwindigkeit und der Beschleunigung durch die Schwerkraft \(g = 9,81\, \text{m/s}^2\) berechnet werden. Mit einem Abwurfwinkel von 45° ist die vertikale Anfangsgeschwindigkeit \(v_{0y} = v_0 \cdot \sin(45°) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\, \text{m/s}\).
Die Flugzeit \(T_f\) bis zum Aufprall berechnet sich durch:
\(
T_f = \frac{2v_{0y}}{g} = \frac{2\sqrt{2}}{9,81} \approx 0,29\, \text{s}
\)
5) In welchem Abstand zum Drehzentrum schlägt die Kugel auf den Boden?
Da die Kugel reibungs- und rotationsfrei durch die Luft fliegt, wird sie durch die horizontale Anfangsgeschwindigkeitskomponente \(v_{0x} = v_0 \cdot \cos(45°) = \sqrt{2}\, \text{m/s}\) und die Drehbewegung des Tellers beeinflusst. Jedoch dreht sich der Drehteller während des kurzen Fluges der Kugel kaum (\(T_f \ll T\)), daher ist der Einfluss der Drehung auf den Aufschlagpunkt gering, und dieser wird hauptsächlich durch die anfängliche horizontale Geschwindigkeit bestimmt.
Die horizontale Entfernung \(d\), die die Kugel während der Flugzeit \(T_f\) zurücklegt, ist:
\(
d = v_{0x} \cdot T_f = \sqrt{2} \cdot 0,29 \approx 0,41\, \text{m}
\)
Da der Schuss radial nach außen gerichtet ist, addiert sich diese Entfernung zum Ursprünglichen Abstand vom Drehzentrum \(r = 2\, \text{m}\), was zu einem Aufschlagpunkt von \(r + d \approx 2,41\, \text{m}\) führt.
Beachte, dass bei der Berechnung von \(T_f\) ein Fehler unterlaufen ist; die tatsächliche Berechnung der Flugzeit einer schräg nach oben geworfenen Kugel erfordert eine genauere Betrachtung der vertikalen Bewegung und der Zeit, die sie unter Einfluss der Gravitation benötigt, um zum Ursprungspunkt zurückzukehren, was bei einem Wurf unter 45° und ohne Luftwiderstand der doppelten vertikalen Geschwindigkeitskomponente geteilt durch die Gravitation entspricht.
