Ist das Feld wirbelfrei bzw. ist die Rotation =0 ?

Question

Ich habe eig. kein Problem beim berechnen der Rotation, aber in diesem Fall komme ich irgendwie nicht vorran:

$$\vec{F}=\frac{\vec{r}}{r^2}\\\vec{r}=(x,y,z)~~und~~r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\vec{F}=\frac{(x,y,z)}{x^2+y^2+z^2}$$

Ich weiß nicht wie ich die Regeln zur Berechnung der Rotation bei dieser Aufgabe anwenden kann, mich irritiert, dass oben ein Vektor steht und unten ein Polynom...

Answer 1

Das im Nenner ist vor allem mal ein Skalar: $$\ldots=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}(x,y,z).$$ Wie man Vektoren mit Skalaren multipliziert, wirst Du ja wissen.

Answer 2

Hallo,

$\vec{F}$(x,y,z) = $\begin{pmatrix} x / (x^2+y^2+z^2) \\ y / (x^2+y^2+z^2) \\ z / (x^2+y^2+z^2) \end{pmatrix}$

jetzt kannst du nach den üblichen Regeln -  mit viel Aufwand -  rot($\vec{F}$) = $\vec{0}$ ausrechnen oder dir einfach überlegen, dass das Feld in jedem Punkt in Richtung des Ortsvektors des Punktes - also radial - verläuft und deshalb mit Sicherheit "wirbelfrei" ist.

Du könntest natürlich auch mit Kugelkoordinaten rechnen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Rotation_eines_Vektorfeldes

Gruß Wolfgang

Comments

Super danke, verwechsle einfach zu oft Skalare mit Vektoren, wenn es komplizierter wird.