Für ein Kurvenintegral mit der Parametrisierung γ(t) lautet das Wegdifferential ds = |dγ/dt| dt. Was übrig bleibt ist ein gewöhnliches Riemann-Integral in der Variablen t.
a) Es ist dγ/dt = (- sin t, cos t, 0)T, also |dγ/dt| = 1.
Außerdem muss der Nenner ausgewertet werden:
|x-x0| = |(cos t, sin t, -1)| = sqrt(cos²(t) + sin²(t) + 1) = sqrt(2)
Damit lässt sich das Integral einfach auswerden:
Die x- und y-Komponenten der Kraft verschwinden, da jeweils cos(t) bzw. sin(t) von 0 bis 2pi integriert werden.
Die z-Komponente lautet Fz(x0) = -2π mgρ/sqrt(23) = - πmgρ/sqrt(2)
b) Diese Rechnung funktioniert analog.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, solltest du das folgende Ergebnis finden:
$$F(x_0) = mg\rho e^{-\pi} \sinh(\pi) \sqrt{3/8} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
