Scheibe in der Ebene. Resultierende Kräfte und deren Abstand zum Koordinatenursprung?

Question

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? 

Hey,

Undzwar kam ich mit der Aufgabe 1.3 (Anhang) nicht weiter... die resultierende Kraft ist einfach herrauszubekommen aber ich weiss nicht wie ich deren senkrechter Abstand zum Koordinatenursprung herrausfinden kann.

Ich würde mich auf Antworten sehr freuen und werde wie immer die beste Antwort markieren :)

MfG

Anhang:

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EDIT: Bitte selbständig aussagekräftige Überschriften und Tags setzen. So bleibt Redaktoren und Modratoren mehr Zeit für das Beantworten von Fragen. "Kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?" sagt überhaupt nicht, um was es geht. 

Answer 1

Für den Abstand der resultierenden Kraft benötigst Du natürlich alle Momente. Diese ergeben sich aus dem Kreuzprodukt Hebelarm mal Kraftvektor. Es ist:

$$M_{1,0} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \text{m}\times \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix} \text{N} = 10\text{Nm}$$

$$M_{2,0} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \text{m}\times \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} \text{N} = -8\text{Nm}$$

$$M_{3,0} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \text{m}\times \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \text{N} = -4\text{Nm}$$

$$M_{4,0} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix} \text{m}\times \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \text{N} = 22\text{Nm}$$

Daraus folgt dann die Summe aller Momente

$$\sum_{i=1}^4 M_{i,0}=20\text{Nm}$$

Die Summe aller Kräfte ist

$$\sum_{i=1}^4 F_i= \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \text{N} \quad \Rightarrow \space \left| \sum_{i=1}^4 F_i\right| = \sqrt{17} \text{N}$$

Demzufolge ist der Hebelarm $r$ - also der Abstand dieser Kraft vom Koordinatenursprung

$$\left| \sum M_i \right| = r \cdot\left|\sum F_i \right| \quad \Rightarrow \space r = \frac{20\text{Nm}}{\sqrt{17} \text{N}}=\frac{20}{17}\sqrt{17} \text{m} \approx 4,851 \text{m}$$

Im obigen Bild habe ich die Gesamtkraft (rot) mit der berechneten Entfernung eingezeichnet. Die Wirkungslinie der Kraft geht durch den Punkt $(0;-5)^T$. Kontrollrechnung:

$$\sum_{i=1}^4 M_{i,0}= \begin{pmatrix} 0 \\ -5 \end{pmatrix} \text{m} \times \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \text{N} = 20 \text{Nm}$$

scheint also richtig zu sein.

Gruß Werner

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WIe hast du jetzt F ges herrausgefunden? Meinst du etwa die resultierende Kraft? Weil die resultierende Kraft lautet ja anders... Tuht mir leid wenn die Frage dumm klingt :/

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Die Resultierende Kraft $F_{ges}=R$ ist schlicht die Summe aller Kräfte.

$$R=F_{ges}=\sum_{i=1}^4 F_i\\=\begin{pmatrix} -3\\ -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ -4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4\\ 2\end{pmatrix} \text{N}= \begin{pmatrix} 4\\ -1\end{pmatrix} \text{N}$$

Zur Kontrolle noch mal das ganze graphisch

Die Summe aller blauen Pfeile ergibt den roten. Wie lautet denn Deine resultierende Kraft?

Anbei noch mal die graphische Lösung des Problems.

Die grünen Pfeile sind die Summen von $F_1+F_3$ und $F_2+F_4$. Die grünen gestrichelten Linien sind die Wirkungslinien dieser Summen und der rote Pfeil $F_{ges}=R$ ist die Gesamtsumme inklusive der roten Wirkungslinie. Das Ergebnis ist das gleiche.