Wie bestimme ich die Auflagerkräfte und Stabkräfte? Wieso ist By = 0 und wie berechne ich S4 und S8 ?

Question

Hey :),

 Aufgabe (Aufgabe+ Darstellung in Anhang):

Das dargestellte Fachwerk wird mit einer Kraft F belastet. Wie bei allen Fachwerken sollen die Stäbe als gelenkig verbunden

angenommen werden. Das Eigengewicht des Fachwerks kann vernachlässigt werden. (Darstellung in Anhang)

Gegeben: F, alpha=30°‚ l , h,

Gesucht: 1. sind die Auflagerkräfte in A und B,

               2. die Stabkräfte S1 bis S8 mit der Angabe, ob es sich um einen Null-, Druck- oder Zugstab handelt

(Für Lösungshilfe siehe Anhang)

Hinweis: Bei der Entscheidung, ob es sich um einen Null-, Druck- oder Zugstab handelt, soll vom Geometrieverhältnis:

l/h > 2✓3 ausgegangen werden.

-> Jetzt zu meiner Frage: Wieso ist By = 0 und wie berechne ich S4 und S8 . Woher weiss ich ob ein Stab Nullstab ist und was meinen die mit ``Hinweis: Bei der Entscheidung, ob es sich um einen Null-, Druck- oder Zugstab handelt, soll vom Geometrieverhältnis: l/h > 2✓3 ausgegangen werden.'' ?

Ich hoffe dass mir jmd weiterhelfen kann (werde wie immer die beste Antwort markieren :D )

MfG,

mistermathe

Anhang:

Answer 1

Hallo mistermathe,

Du fragst: "Wieso ist By = 0?" - Jeder der Stäbe ist gelenkig gelagert und sein Eigengewicht soll vernachlässigbar klein sein. Somit kann jeder Stab nur Kräfte in Richtung des Stabes übertragen - keine Querkräfte. Und da der Stab 1 in \(X-\)Richtung zeigt, kann er auch nur eine Kraft auf \(B\) ausüben, die ebenso in \(X-\)Richtung zeigt; ohne jede Komponente in \(Y-\)Richtung.

Du fragst: "Woher weiss ich ob ein Stab Nullstab ist ?" - guckst Du hier. Die dritte Regel schlägt hier zu. Der Stab 6 ist ein Nullstab, da im Knoten II die Stäbe 3 und 7 die selbe Richtung haben und ihrerseits keine Kräfte in \(X-\)Richtung an Stab 5 übergeben können.

Du fragst: "wie berechne ich S4 und S8?" - Ich unterstelle, Du hast bereits \(S_5=F/2\) bestimmt. Dann sind im Knoten III nur noch \(S_4\) und \(S_8\) unbekannt, da \(S_6\) bereits als Nullstab identifiziert wurde (s.o.). Und unter diesen beiden Stäben (Richtungen) ist \(S_5\) jetzt aufzuteilen:

\(S_4\) habe ich rot gezeichnet, da dies eine Druckkraft ist. Beide Kräfte sind symmetrisch zur Richtung von \(S_5\) und die \(Y-\)Komponente ist daher jeweils \(F/4\). Das Verhältnis von \(X-\) zu \(Y-\)Komponente ist \(l/h\) - also ist

$$S_8=\frac{F}{4}\sqrt{\left( \frac{l}{h}\right)^2 + 1}$$

und \(S_4=-S_8\), da ihre Beträge gleich sind und \(S_4\) ein Druckstab ist.

Du fragst: "was meinen die mit Hinweis ... \(l/h \gt 2\sqrt3\)?" - So sieht das Bild aus, wenn \(l/h \gt 2\sqrt3\) ist:
 
Dann geht die Wirkungslinie von \(F\) 'unterhalb' von \(A\) durch und  \(S_1\) muss demnach ein Druckstab sein, um das entstehende Moment auszugleichen.

Gruß Werner

Comments

Danke dir für deine sehr hilfreiche Antwort hat mir wirklich weiter geholfen :D ,aber hätte da noch eine Frage würde mich echt freuen wenn du vielleicht auch wusstest wieso das dort so gemacht wurde... undzwar verstehe ich nicht warum in Knoten IV bei                   Fx + l / √(l² +h² ) *S4  und bei Fy - h / √(l² +h² ) *S4 steht (siehe Anhang) :(  (auf Stab 4 bezogen)

Anhang:

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Falls sich Deine Frage auf das Vorzeichen bezieht, so lautet die Antwort: S4 zieht nach +X aber nach -Y. Bedenke, dass bei jedem Stab die Zugkraft positiv ist. Handelt es sich um einen Druckstab, so wie bei S4, dann hat die Kraft selbst ein negatives Vorzeichen.

Gruß Werner

PS.: bin demnächst offline

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Vorzeichen habe ich verstanden ich weiss aber nicht wie die allgemein auf  

l / √(l² +h² ) *S4   kommen wieso das für Fx benutzt wird . Wie das aufgebaut wird... also wrm  l / √(l² +h² ) bei Fx und h/ √(l² +h² ) bei Fy 

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Hallo mistermathe,

ich bin wieder da! Zu Deiner Frage:

$$F_{x4}=\frac{l}{\sqrt{l^2+h^2}}S_4$$

ist der Anteil, den die Kraft \(S_4\) in X-Richtung auf den Knoten IV ausübt.

Die (rote) Kraft \(S_4\) wird in die beiden (blauen) Kräfte \(F_{x4}\) und \(F_{y4}\) aufgeteilt. Wobei das Dreieck, welches von \(F_{x4}\) und \(S_4\) aufgespannt ist, ähnlich zu dem Dreieck durch die Knoten IV, III und V ist. Folglich sind auch die Verhältnisse identisch. Es gilt

$$\frac{F_{x4}}{S_4}= \frac{l}{|IV .. III|}$$

\(|IV .. III|\) soll die Strecke zwischen den Knoten IV und III sein - und die ist nach Pythagoras

$$|IV .. III| = \sqrt{l^2 + h^2}$$

Einsetzen in obige Verhältnisgleichung und auflösen nach \(S_4\) ergibt die ursprüngliche Gleichung für \(F_{x4}\)

$$F_{x4}=\frac{l}{\sqrt{l^2+h^2}}S_4$$

und für die Kraftkomponente in Y-Richtung geht es genauso.

Gruß Werner