Hallo Daniel,
Oh - Du machst es ja richtig spannend! Wer sind 'die anderen'? Und worüber darfst Du nicht sprechen? Ich vermute einen Wurmlochgenerator ;-) dazu empfehle ich die Lektüre von ISBN 978-3442453818.
Zu Deinen Fragen: "v(s), t(s), s(t), a(t) und v(t)"
Alles mit Funktion von \(t\) ist einfach:
$$s(t)= c_1 \cdot e^{t\sqrt{K}} + c_2 \cdot e^{-t\sqrt{K}}$$ $$v(t) = \dot s(t)= \sqrt{K} \cdot \left(c_1 \cdot e^{t\sqrt{K}} - c_2 \cdot e^{-t\sqrt{K}} \right)$$ $$a(t)= \ddot s(t) = K\left( c_1 \cdot e^{t\sqrt{K}} + c_2 \cdot e^{-t\sqrt{K}}\right)$$ Die Funktion \(t(s)\) ist die Inverse zu \(s(t)\). Zunächst substituiere ich
$$e^{t \cdot \sqrt{K}} = z \quad \Rightarrow t = \frac{1}{\sqrt{K}} \ln(z)$$ Einsetzen in \(s(t)\) gibt
$$s = c_1 \cdot z + c_2 \cdot \frac{1}{z}$$ $$\Rightarrow \space z_{1,2} = \frac{s \pm \sqrt{s^2 - 4c_1 c_2}}{2 c_1}$$
Die Substitution berücksichtigen:
$$t(s) = \frac{1}{\sqrt{K}} \ln\left( \frac{s \pm \sqrt{s^2 - 4c_1 c_2}}{2 c_1} \right)$$
Für \(v(s)\) berücksichtige ich die Substitution (s.o.) - aus \(v(t)\) folgt dann:
$$\begin{aligned} v(s) &= \sqrt{K} \cdot \left(c_1 \cdot z - c_2 \cdot \frac{1}{z} \right)\\&= \sqrt{K} \cdot \left(c_1 \cdot \frac{s \pm \sqrt{s^2 - 4c_1 c_2}}{2 c_1} - c_2 \cdot \frac{2 c_1}{s \pm \sqrt{s^2 - 4c_1 c_2}} \right)\\&= \sqrt{K} \cdot \left( \frac12 \left(s \pm \sqrt{s^2 - 4c_1 c_2}\right) - \frac12 \left(s \mp \sqrt{s^2 - 4c_1 c_2}\right) \right)\\&= \sqrt{K} \cdot \left(\pm \sqrt{s^2 - 4c_1 c_2}\right) \end{aligned}$$ ... dann hoffen wir mal, dass ich mich nicht verrechnet habe.
Du fragtest: " ... habe Probleme mit den Faktoren c1 und c2. Können die nicht 1 sein?"
Die können auch 1 sein. Sie sind aber nicht beliebig, sondern ergeben sich zwingend aus den Anfangsbedingungen, also aus dem Zustand des Systems zum Zeitpunkt \(t=0\). Es gilt:
$$s(0) = c_1 + c_2$$ $$v(0) = \sqrt{K}(c_1 - c_2)$$ Gruß Werner
