Wie steht Fz = m*v^2/r mit der Formel 4*Π^2*m*r/T^2 zusammen? (Gravitationsgesetz)

Question

_{Wie steht die Formel}

F_z=m*v^2/r

mit der Formal

4Π^2*m*r/T^2

zusammen?

Thema : Gravitationsgesetz

Answer 1

Salut,

die Gravitationskraft F_g ist ja als Zentripetalkraft F_z dafür verantwortlich, dass beispielsweise die Erde auf ihrer Umlaufbahn bleibt.

F_g                            =               F_z

γ * (M * m /  r² )       =          m * ( v² / r )

γ * M  /  r²                =          v²  /  r          ( I )    

Jetzt ersetze die Geschwindigkeit v  durch die Umlaufzeit T

v  =  (2 π r)  / T    bzw.  v²  =  (4 π² * r² )  /  T²         ( II )

Setze (II) in (I) ein und du erhältst

γ *  M  / r²       =      ( 4π² * r²  )  /  r * T²         I * r²

γ * M   =  ( 4 π² * r³ )  /  T²         I : 4π²

(γ * M)  /  4 π²   =   r³ / T²

Du hast also somit aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz Keplers 3. Gesetz hergeleitet !

Viele Grüße

Comments

Du siehst, dass das genau der Kehrwert der Keplerkonstanten ist:

T²/r³ = C

C = 4π² / γ*M = T² / r³

Sehr schöne Frage übrigens !

Answer 2

Hallo,

F_z = m • v² / r  = 4π² • m  r / T²   weil    v = 2π • r / T   ( Umfang/Umlaufzeit) ist.

Gruß Wolfgang

Comments

Die normale Formel für v ist ja v=s/t. In diesem Fall ist s = umlaufbahn und t = Umlaufdauer?

Also steht 4π^{2 *} r für die Umlaufbahn 

und T^{2  für die Umlaufdauer?}