Das Newton'sche Abkühlungsgesetz T(t)=Tu - e*e^{-kt} . Bsp: Bier aus Kühlschrank

Question

Almagunther Tropfloch holt eine Flasche Bier aus seinem 7 Grad Kühlschrank, in dem sie schon zwei Tage steht. Er hat sie noch nicht geöffnet, da stürzt sein derangierter Bruder Almansor ins Haus und verstrickt ihn ganze 90 Minuten lang in eine hitzige Diskussion über die Zukunft des Ackerbaus am Nordpol. All das spielt sich in dem Wohnzimmer ab, das der energiebewusste Almagunther auf der heroischen Temperatur von 19 Grad hält. Den Hausherrn schwant, dass sein vereinsamtes Bier für Mitteleuropäer zu warm werden wird. Kaum hat Almansor die Haustür zugeschlagen, misst Almagunther die Temperatur des Gerstensaftes und stellt eine betrübliche Überhitzung desselben auf 15 Grad fest. Da er, wie jeder passionierter Biertrinker, das Newtonsche Abkühlungsgesetz kennt, schließt er daraus, dass er dieses Bier etwa 3 Stunden lang in einem Kühlschrank stellen muss, um es auf annehmbare 8 Grad zu bringen. Hat er recht?

Answer 1

Hi

Teil 1:-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Man kann zwei Gleichungen aufstellen und mit diesen die Unbekannten c und k bestimmen:
T(t) = T_u -c*exp{-k*t}

1. Gleichung zum Zeitpunkt t = 0 min:
T(t = 0min) = 7°C;
T_u = 19°C;

7°C = 19°C -c*exp{ -k*0min };
c₁ = 12°C;

 

2. Gleichung zum Zeitpunkt t = 90 min:
T(t = 90min) = 15°C;
T_u = 19°C;
c₁ = 12°C;

15°C = 19°C -12°C*exp{ -k*90min };
-4°C/(-12°C) = exp{ -k*0min };
1/3 = exp{ -k*90min };
ln(1/3) = -k*90min;
k = -ln(1/3) / 90min;

 

Teil 2:-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Jetzt ist der Parameter k der Funktion bekannt. c muss noch berechnet werden. Dann kann die Zeit berechnet werden, die man braucht um das Bier abzukühlen:

T(t) = T_u -c*exp{-k*t};

T(t=0min) = 15°C;
T_u= 7°C;

c₂ = T_u - T(t=0min) = 7°C - 15°C;
c₂ = -8°C;

 

T(t) = T_u -c₂*exp{-k*t}; //Gleichung nach t umstellen
[ T_u-T(t) ] / c₂ = exp{-k*t};
-k*t = ln{  [ T_u-T(t) ] / c₂  };
t = 1/(-k) * ln{  [ T_u-T(t) ] / c₂  };

T(t) = 8°C;
T_u = 7°C;
c₂ = -8°C;
k = -ln(1/3) / 90min;

t = 90min /  ln(1/3) * ln{  [ 7°C -8°C ] / (-8°C)  };
t ≈ 170min ≈ 2,8h;

 

Die Einschätzung trifft also zu. Es dauert sogar weniger als 3 Stunden bis das Bier auf 8°C abgekühlt ist.

 

lg JR
 

Comments

wunderbar dargestellt. Der Rechengang ist super dokumentiert.

Answer 2

Hallo,

  nur eine Abschätzung die aber zur Beantwortung der Frage ausreichen dürfte.

  Das Bier erwärmt sich von 7° in 90 min auf 15°.

  Nach dem Zurückstellen in den Kühlschrank müßte das Bier  in 90 min auch auf 7° abgekühlt sein. Da nur 8° benötigt werden dürfte die Zeit kleiner 90 min sein.

mfg Georg

 Irrtum vorbehalten. Bei ( vermeintlichen ) Fehlern oder Fragen bitte wieder melden.

Comments

falsch, da es eine expotentialfunktion