Antwort mit KI erzeugt
Lösung:
Zuerst müssen wir die grundlegenden physikalischen Konzepte verstehen, die involviert sind. In einer Elektronenstrahl-Ablenkröhre wird der Elektronenstrahl durch eine Spannung, die an einem Ablenkkondensator angelegt ist, abgelenkt. Die Stärke dieser Ablenkung hängt von verschiedenen Faktoren ab, einschließlich der Geschwindigkeit der Elektronen im Strahl (die von der Beschleunigungsspannung \(U_A\) beeinflusst wird), der Länge der Ablenkplatten \(l\), dem Abstand zwischen den Platten \(d\) und der Ablenkspannung \(U_d\).
Schritt 1: Berechnung der Geschwindigkeit der Elektronen
Die kinetische Energie der Elektronen wird durch die Anodenspannung \(U_A\) bestimmt. Die Formel dafür lautet:
\(E_{kin} = e \cdot U_A\)
Hier ist \(e\) die Elementarladung (\(e = 1,6 \times 10^{-19} \, C\)) und \(U_A = 1,5 \, kV = 1500 \, V\).
Die kinetische Energie kann auch durch die Formel
\(E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2\)
ausgedrückt werden, wobei \(m\) die Masse eines Elektrons (\(m = 9,109 \times 10^{-31} \, kg\)) und \(v\) dessen Geschwindigkeit nach der Beschleunigung ist.
Durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke für die kinetische Energie und Auflösen nach \(v\) erhalten wir die Geschwindigkeit der Elektronen:
\(e \cdot U_A = \frac{1}{2} m v^2\)
\(v = \sqrt{\frac{2 e U_A}{m}}\)
Setzen wir die Werte ein:
\(v = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,6 \times 10^{-19} \, C \cdot 1500 \, V}{9,109 \times 10^{-31} \, kg}}\)
\(v \approx \sqrt{\frac{2 \cdot 1,6 \times 10^{-19} \cdot 1500}{9,109 \times 10^{-31}}} \, m/s\)
\(v \approx \sqrt{\frac{4,8 \times 10^{-16}}{9,109 \times 10^{-31}}} \, m/s\)
\(v \approx \sqrt{5,27 \times 10^{14}} \, m/s\)
\(v \approx 7,26 \times 10^7 \, m/s\)
Schritt 2: Berechnung der benötigten Ablenkspannung
Der Ablenkwinkel \(\theta\) kann mit der Beziehung
\(\tan(\theta) = \frac{v_{y}}{v_{x}}\)
ausgedrückt werden, wobei \(v_{y}\) die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zu den Ablenkplatten und \(v_{x}\) die Geschwindigkeitskomponente parallel zu den Platten ist. Da die Elektronen senkrecht zu den Ablenkplatten unbeschleunigt sind, ist \(v_{x} = v\) und \(v_{y} = \frac{e \cdot U_d \cdot l}{d \cdot m \cdot v}\), wobei \(U_d\) die Spannung zwischen den Ablenkplatten ist.
Also,
\(\tan(\theta) = \frac{e \cdot U_d \cdot l}{d \cdot m \cdot v^2}\)
Um \(U_d\) zu finden, lösen wir nach \(U_d\) auf:
\(U_d = \tan(\theta) \cdot \frac{d \cdot m \cdot v^2}{e \cdot l}\)
Mit \(\theta = 7°\), \(d = 0,015 \, m\), \(l = 0,03 \, m\), und unseren vorher berechneten Wert für \(v\), setzen wir die Zahlenwerte ein:
\(U_d = \tan(7°) \cdot \frac{0,015 \cdot 9,109 \times 10^{-31} \cdot (7,26 \times 10^7)^2}{1,6 \times 10^{-19} \cdot 0,03}\)
\(U_d = \tan(7°) \cdot \frac{0,015 \cdot 9,109 \times 10^{-31} \cdot 5,27 \times 10^{14}}{1,6 \times 10^{-19} \cdot 0,03}\)
Bei der Berechnung von \(\tan(7°) \approx 0,1228\), erhalten wir:
\(U_d \approx 0,1228 \cdot \frac{0,015 \cdot 9,109 \times 10^{-31} \cdot 5,27 \times 10^{14}}{4,8 \times 10^{-20}}\)
\(U_d \approx 0,1228 \cdot \frac{7,24135 \times 10^{-13}}{4,8 \times 10^{-20}}\)
\(U_d \approx 0,1228 \cdot 15092,77 \, V\)
\(U_d \approx 1853,141 \, V\)
Die Spannung, die an den Ablenkplatten anliegen muss, um eine Ablenkung von 7° zu erreichen, beträgt also ungefähr \(1853 \, V\).
