Hallo Schneeblume,
Die Energie \(E\) (oder Arbeit), die in dem rollenden Zylinder steckt, ist die Summe aus translatorischer Bewegungsenergie \(E_T\) und rotatorischer Bewegungsenergie \(E_{Rot}\).
$$E= E_T + E_{Rot} = \frac12m \cdot v^2 + \frac12 I \cdot \omega^2$$
$$\omega = \frac{v}{r}$$
und das Trägheitsmoment \(I\) eines leeren Zylinders mit vernachlässigbarer Wandstärke ist \(I=m \cdot r^2\). Alles einsetzen ergibt:
$$E = \frac12 m \cdot v^2 + \frac12 (m \cdot r^2) \cdot \left( \frac{v}{r} \right)^2 = m\cdot v^2$$
D.h. die Energie eines leeren rollenden Zylinders ist nicht von seinem Radius abhängig!
Du fragtest: "Stimmt es, dass ein leerer Zylinder ein grösserer Trägheitsmoment hat als ein voller Zylinder?" bei gleicher Masse - Ja! Beim leeren Zylinder befindet sich die gesamte Masse in der Außenwand und hat damit einen größeren Einfluß auf das Trägheitsmoment.
$$I_{leer} = m \cdot r^2 > I_{voll} = \frac12 m \cdot r^2$$
Du fragtest: "Würde ein leerer Zylinder schneller rollen als ein voller?" Das kommt darauf an, was Du unter 'schneller rollen' verstehst!
Rollen beide Zylinder (wieder gleiche Masse) zunächst mit gleicher Geschwindigkeit über einen reibungsbehafteten Untergrund, so würde der leere Zylinder irgendwann schneller sein, da er am Anfang mehr Energie enthält.
Rollen aber beide Zylinder aus dem Stand auf der gleichen schiefen Ebene hinunter, so ist der volle Zylinder schneller, da beide Zylinder die gleiche (potentielle) Energie in kinetische Energie umsetzen und der Anteil der rotatorischen Energie beim leeren größer, also der Anteil der translatorischen hier kleiner ist.
