Hallo,
die Gravitationskraft ergibt sich durch auf integrieren der Kräfte zu den infinitesimalen
Massenpunkten auf der Scheibe. Zeichne in der Skizze noch die relevanten Vektoren ein.
Es ist
$$ d\vec{F}=\frac{GMdm }{A^2}\vec{e_A}$$
wobei A der Abstand sein soll und e_A der Einheitsvektor in dessen Richtung ist.
Gemäß Pythagoras ist
$$ A^2=r^2+r'^2$$
wobei r' der Abstand eines Massenpunktes auf der Scheibe von deren Zentrum ist (Polarkoordinaten). Für die Richtung ergibt sich
$$ \vec{e_A}=\frac{(-r\vec{e_z}+\vec{r'})}{|(-r\vec{e_z}+\vec{r'})|}\\=\frac{(-r\vec{e_z}+\vec{r'})}{\sqrt{r^2+r'^2}}\\$$
weil e_z und e_r' senkrecht zueinander verlaufen.
Somit ist die Gesamtkraft
$$ \vec{F}=\int d\vec{F}=GM\int\frac{dm}{r^2+r'^2}\frac{(-r\vec{e_z}+\vec{r'})}{\sqrt{r^2+r'^2}}\\=GM\int\frac{dm}{(r^2+r'^2)^{3/2}}\begin{pmatrix} r'cos(\varphi')\\r'sin(\varphi')\\-r \end{pmatrix}\\=GM\rho_0\int\frac{dA}{(r^2+r'^2)^{3/2}}\begin{pmatrix} r'cos(\varphi')\\r'sin(\varphi')\\-r \end{pmatrix}\\=GM\rho_0\int_{0}^{2\pi}d\varphi'\int_{0}^{R}\frac{r'dr'}{(r^2+r'^2)^{3/2}}\begin{pmatrix} r'cos(\varphi')\\r'sin(\varphi')\\-r \end{pmatrix}\\=-2\pi GM\rho_0 r\vec{e_z}\int_{0}^{R} \frac{r'dr'}{(r^2+r'^2)^{3/2}}\\=2\pi GM\rho_0 r\vec{e_z}[\frac{1}{\sqrt{r^2+r'^2}}]_0^R\\=2\pi GM\rho_0 r(\frac{1}{\sqrt{r^2+R^2}}-\frac{1}{r})\vec{e_z}\\=-2\pi GM\rho_0 (1-\frac{r}{\sqrt{r^2+R^2}})\vec{e_z}\\$$
b) Ein Zylinder ist eine Stapelung von Scheiben, du kannst daher das Ergebnis aus a) nehmen und darüber integrieren um die Gesamtkraft zu erhalten, wobei der Abstand zu den Scheiben jeweils r-z ist.
$$ \vec{F_S}=-2\pi GM\rho_0 (1-\frac{r_{neu}}{\sqrt{r_{neu}^2+R^2}})\vec{e_z}\\=-2\pi GM\rho_0 (1-\frac{(r-z)}{\sqrt{(r-z)^2+R^2}})\vec{e_z}\\\vec{F}=\int\vec{F_S}dz=-2\pi GM\rho_0\int_{-h/2}^{h/2}(1-\frac{(r-z)}{\sqrt{(r-z)^2+R^2}})dz\vec{e_z}\\=-2\pi GM\rho_0\vec{e_z}[h-\int_{-h/2}^{h/2}\frac{(r-z)}{\sqrt{(r-z)^2+R^2}}dz]\\=-2\pi GM\rho_0\vec{e_z}[h+\int_{r+h/2}^{r-h/2}\frac{k}{\sqrt{k^2+R^2}}dk]\\=-2\pi GM\rho_0\vec{e_z}(h+[\sqrt{k^2+R^2}]_{r+h/2}^{r-h/2})\\=-2\pi GM\rho_0(h+\sqrt{(r-h/2)^2+R^2}-\sqrt{(r+h/2)^2+R^2})\vec{e_z}$$
