Raketengleichung verstehen

Question

Hallo :)

Ich habe ein kleines Problem. Ich sollte berechnen ab welchen Zeitpunkt eine Rakete abhebt... Da habe ich 55s raus. Nun sollte ich in einer zweiten Aufgabe berechnen wie schnell die Rakete ist, nachdem sie allen Treibstoff verbraucht hat. Den Treibstoff verbraucht hat sie allerding schon nach 11 s und dafür bekomme ich auch eine Geschwindigkeit raus...

Wie kann das nun sein? Wie kann sie nach 11 Sekunden eine Geschwindigkeit haben, wenn sie erst nach 55 Sekunden abhebt....

Wäre sehr dankbar, wenn sich Jemand meine Rechnung ansehen könnte und mir sagt welchen Fehler ich gemacht habe....

Answer 1

Hallo Unicorn,

Ich kann nicht alles lesen, was da steht. Aber nach dem, was ich lesen kann, hast Du wahrscheinlich einen simplen Vorzeichenfehler gemacht. Die Schubkraft $F_S = R \cdot v_{\text{Gas}} = 5 \frac{\text{kg}}{\text{s}} \cdot 1220\frac{\text{m}}{\text{s}}=6100 \text{N}$ ist von Anfang an größer als das Startgewicht der Rakete $G=m\cdot g= \colorbox{#F0F000}{150}\text{kg} \cdot 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\approx \colorbox{#F0F000}{1470} \text{N}$. Da bei Dir die Schubkraft in die gleiche Richtung zeigt, wie das Gewicht, sind die 55s die Zeit, bis zu der die Masse der Rakete so weit negativ geworden ist, dass die Schubkraft nicht mehr dagegen hält.

Also die Rakete hebt sofort mit Einsetzen des Schubs ab. Die Brenndauer ist 11s. Die erreichte Geschwindigkeit $v_{\text{end}}$ ist das Integral der Beschleunigung

$$v_{\text{end}} = \int_{t=0}^{11} \frac{F_s - m(t) \cdot g}{m(t)} \space \text{d}t = \int_{t=0}^{11} \frac{F_s}{m(t)} \space \text{d}t \colorbox{#F0F000}{-} g \cdot 11\text{s}$$

falls Du allein nicht weiter kommst, so frage nochmal nach.

Edit: Abschreib- und Flüchtigkeitsfehler ausgebessert (gelb markiert)

Comments

Danke für die Antwort  :)

Also Widersprechen sich die 55 Sekunden und die 11 Sekunden gar nicht?

Es tut mir leid,dass man meine Aufzeichnung so schlecht lesen kann.. ich schreibe sie wohl  besser noch mal auf.

Fg + F_schub = 0   Startbedingung

(m₀ - R*t ) * 5g + R*v =0

umgestellt nach t    t= (m*5*g + R*v)/ (R*5*g)

(150Kg *5* 9,81m/s² + 5*1226 m/s) / (5 kg/s *5* 9,81m/s²)  = 55s

Und für die Geschwindigkeit habe ich die zweite Raketengleichung verwendet...die darf ich doch nehmen, oder?

v_rakete= v_treibstoff ln (m_o/ m(t)) - 5*g*t

v= 1226m/s ln (150 Kg/95 Kg) - 5*9,81 m/s² * 11s

v= 20,43 m/s

Ist das so alles richtig?

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Hallo Unicorn,

Du schreibst: "Also widersprechen sich die 55 Sekunden und die 11 Sekunden gar nicht?" nö - widersprechen nicht, aber die Annahme von negativer Masse aus verbranntem nicht vorhandenem Treibstoff, machen die 55s physikalisch sinnlos!

Die Rakete startet, wenn

$$-(m_0 - R\cdot t)g + R \cdot v_{\text{Gas}} \gt 0 \quad \cap \quad t \ge 0 \quad \cap \quad R \cdot t \le m_T$$

Man beachte das Minuszeichen am Anfang und das '$\gt$' statt '$=$'. Außerdem darf nicht mehr Treibstoff verbrannt werden, als vorhanden ist, daher das $R \cdot t \le m_T$. Diese Bedingung ist für $t=0$ erfüllt.

Aus der Auflösung des von mir oben angegebenen Integrals folgt das, was Du als zweite Raketengleichung bezeichnest:

$$\begin{aligned} v_{\text{End}} &= v_{\text{Gas}} \ln\left( \frac{m_0}{m_0- m_T} \right) - g \cdot \frac{m_T}{R}\\ &= 1226 \frac{\text{m}}{\text{s}} \ln \left( \frac{150}{150 - 55}\right) - 9,80665 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 11 \text{s}\\ &\approx 452 \frac{\text{m}}{\text{s}} \approx 1628 \frac{\text{km}}{\text{h}} \end{aligned}$$

Du schriebst: "v= 20,43 m/s  Ist das so alles richtig?" Na ja - schätze doch mal selbst! Da wird ein Körper mit mehr als dreifacher Erdbeschleunigung nach oben beschleunigt. D.h. er hat in 1 Sekunde bereits eine Geschwindigkeit von ca. 30m/s - da können Deine 20m/s nicht stimmen!

Gruß Werner

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Danke, jetzt habe ich es verstanden :)

Jetzt habe ich für den Start 5s raus ( ich rechne übrigens mit fünffacher Anziehungskraft)

Aber muss ich bei der Geschwindigkeit nicht 11s - 5s nehmen, weil das ja meine eigentliche Beschleunigungszeit ist?

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Du schriebst: " ich rechne übrigens mit fünffacher Anziehungskraft" Mmh!?

Und: "Aber muss ich bei der Geschwindigkeit nicht 11s - 5s nehmen ..." Ja - die zweite Raketengleichung gilt in der obigen Form erst ab dem Zeitpunkt, wo die Rakete vom Boden abhebt. Und als $m_0$ darfst Du nur die Masse benutzen, die die Rakete zu diesem Zeitpunkt hat. Dein neues $m_0$ wäre also

$$m_0 = 155 \text{kg} - R \cdot 5 \text{s} = 130 \text{kg}$$

Gruß Werner