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Berechnung des Doppler-Winkels α
Um den Doppler-Winkel \(\alpha\) zwischen der Ultraschall-Sonde und der Fließrichtung des Blutes zu berechnen, verwenden wir den Zusammenhang zwischen dem an die Haut angekoppelten Winkel \(\alpha_s\) und dem tatsächlichen Doppler-Winkel \(\alpha\). Der Winkel \(\alpha_s\) ist der Winkel zwischen der Haut und der Sonde, während der Doppler-Winkel \(\alpha\) der Winkel zwischen der Fließrichtung des Blutes und der Ultraschallstrahlung ist.
Der Cosinus des Doppler-Winkels \(\alpha\) lässt sich aus dem Cosinus des Winkels \(\alpha_s\), welcher gegeben ist, mit folgender Beziehung berechnen:
\(
\cos(\alpha) = \frac{c_\beta}{c_s} \cdot \cos(\alpha_s)
\)
Gegeben sind:
- \(c_s = 2700 \, \text{m/s}\) (Schallgeschwindigkeit in der Sonde)
- \(c_\beta = 1570 \, \text{m/s}\) (Schallgeschwindigkeit im Blut)
- \(\alpha_s = 30,0^\circ\)
Setzen wir nun die Werte ein:
\(
\cos(\alpha) = \frac{1570}{2700} \cdot \cos(30^\circ) = \frac{1570}{2700} \cdot \sqrt{3}/2
\)
\(
\cos(\alpha) = \frac{1570}{2700} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1570}{2700} \cdot 0,8660254 \approx 0,500019 \approx 0,5
\)
\(
\alpha = \cos^{-1}(0,5) = 60^\circ
\)
Berechnung der Fließgeschwindigkeit \(v\) in der Ader
Die Fließgeschwindigkeit \(v\) des Blutes kann mit der Doppler-Gleichung für Frequenzverschiebungen berechnet werden:
\(
\Delta f = \frac{2 \cdot f_0 \cdot v \cdot \cos(\alpha)}{c_\beta}
\)
wo \(\Delta f\) die Frequenzverschiebung, \(f_0\) die ursprüngliche Frequenz der Ultraschall-Doppler-Sonde, \(v\) die Geschwindigkeit des Blutes, \(\alpha\) der Doppler-Winkel und \(c_\beta\) die Schallgeschwindigkeit im Blut ist.
Umgestellt nach \(v\) ergibt sich:
\(
v = \frac{\Delta f \cdot c_\beta}{2 \cdot f_0 \cdot \cos(\alpha)}
\)
Setzen wir die gegebenen Werte ein:
- \(\Delta f = 700 \, \text{Hz}\)
- \(f_0 = 15,0 \, \text{MHz} = 15,0 \times 10^6 \, \text{Hz}\)
- \(c_\beta = 1570 \, \text{m/s}\)
- \(\alpha = 60^\circ\)
\(
v = \frac{700 \cdot 1570}{2 \cdot 15,0 \times 10^6 \cdot \cos(60^\circ)} = \frac{1109000}{2 \cdot 15,0 \times 10^6 \cdot 0,5}
\)
\(
v = \frac{1109000}{15000000} = 0,07393 \, \text{m/s}
\)
Die Fließgeschwindigkeit des Blutes in der Ader beträgt etwa \(0,07393 \, \text{m/s}\) oder \(7,393 \, \text{cm/s}\).
