Antwort mit KI erzeugt
a) Bestimmen Sie die Ladungen \( Q_{1} \) und \( Q_{2} \) vor der Berührung in Abhängigkeit von \( m, l, \varphi, \theta \) und \( Q \).
Da nach der Berührung beide Kugeln die gleiche Ladung \( Q \) tragen und Ladungen erhalten bleiben, können wir die ursprünglichen Ladungen \( Q_{1} \) und \( Q_{2} \) wie folgt ausdrücken:
\(
Q = \frac{Q_{1} + Q_{2}}{2}
\)
Um \( Q_{1} \) und \( Q_{2} \) zu finden, betrachten wir das Kräftegleichgewicht vor und nach der Berührung. Vor der Berührung wirkt auf jede Kugel die Gravitationskraft \( F_{g} = mg \) nach unten und die elektrische Kraft (Coulomb-Kraft) \( F_{e} \) zwischen den Kugeln, die sie voneinander wegdrückt. Nach der Berührung (wenn sich die Kugeln um einen Winkel \( 2 \theta \) auslenken) herrscht das gleiche Kräftegleichgewicht, jedoch mit einer geänderten elektrischen Kraft zwischen den gleich geladenen Kugeln.
Für kleine Winkel \( \varphi \) und \( \theta \) gilt die Näherung \( \sin(\varphi) \approx \tan(\varphi) \) und \( \sin(\theta) \approx \tan(\theta) \).
Vor der Berührung:
1. Die elektrische Kraft \( F_{e1} \) zwischen den Kugeln (mit Ladungen \( Q_{1} \) und \( Q_{2} \)) und die Gravitationskraft \( F_{g} = mg \) sind im Gleichgewicht.
2. Die Ladungen \( Q_{1} \) und \( Q_{2} \) können leider nicht direkt bestimmt werden, da uns spezifische Werte oder zusätzliche Gleichungen fehlen, die aus dieser Aufgabenstellung ableitbar wären. Die allgemeine Coulomb-Kraft \( F_{e} = \frac{k \cdot |Q_{1} \cdot Q_{2}|}{r^2} \), mit \( k \) als Coulombsche Konstante und \( r \) als Abstand zwischen den Ladungsmittelpunkten, spielt hier eine Rolle, aber ohne Kenntnis des ursprünglichen Winkels \( \varphi \) oder des Abstands \( r \) zwischen den Kugeln kann die Lösung nicht fortgeführt werden.
Nach der Berührung:
Nach der Auslenkung sind die Kugeln um \( 2\theta \) ausgelenkt, also halbiert sich der Winkel zu \( \theta \) für die Betrachtung einer einzelnen Kugel. Der Gleichgewichtsabstand \( x \) lässt sich dann mit der Näherung \( \sin(\theta) \approx \tan(\theta) = \frac{x}{2l} \) betrachten.
b) Bestimmen Sie \( x \) für kleine Winkel \( \theta \) als Funktion von \( m, l, \theta \) und \( Q \).
Für kleine Winkel gilt \( \sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{2l} \), was bedeutet, dass \( x = 2l \tan \theta \).
Da die Kräfte im Gleichgewicht sind, gilt für die elektrische Abstoßungskraft \( F_{e} = k \frac{Q^2}{x^2} \) und für die Gravitationskraft \( F_{g} = mg \). Die Komponente der Gravitationskraft, die entlang der Auslenkrichtung \( x \) wirkt, ist proportional zu \( \sin \theta \), was für kleine Winkel \( \theta \) gleich \( \tan \theta = \frac{x}{2l} \) gesetzt werden kann.
Leider fehlt eine klar definierte Beziehung oder Zusatzbedingung, um \( x \) direkt in Abhängigkeit von \( m, l, \theta \) und \( Q \) für die Situation nach der Berührung ohne spezifische Annahmen zu ermitteln. Die grundlegende Herangehensweise würde jedoch das Setzen der elektrischen Kraft gleich der Komponente der Gravitationskraft entlang \( x \) beinhalten, um eine Beziehung herzustellen.
c) Berechnen Sie \( x \) für \( m=1 \text{ g}, l=10 \text{ cm} \) und \( Q=1 \text{ nC} \) und überprüfen Sie, ob in diesem Fall die Annahme kleiner Winkel \( \theta \) gerechtfertigt ist.
Für \( m=1 \text{ g} = 0.001 \text{ kg} \), \( l=10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m} \), und \( Q=1 \text{ nC} = 1 \times 10^{-9} \text{ C} \), mit der elektrostatischen Konstante \( k = 8.988 \times 10^9 \text{ Nm}^2/\text{C}^2 \), und \( g = 9.81 \text{ m/s}^2 \), können wir \( x \) wie folgt berechnen, unter der Annahme, dass die Komponente der Gravitationskraft, die entlang \( x \) wirkt, durch die elektrische Kraft ausgeglichen wird:
Da keine direkten Werte oder Annahmen für \( \theta \) gegeben sind, können wir den spezifischen Berechnungsweg für \( x \) in diesem Schritt ohne weitere Zusatzinformationen oder Annahmen nicht fortführen. Die allgemeine Idee wäre, das Gleichgewicht der Kräfte zu nutzen, um eine Beziehung aufzustellen.
