Physik: Autofahrer überholt Traktor mit Anhänger mit gleichförmiger Geschwindigkeit vT=18 kmh^{-1}

Question

Hi, 

ich brauche dringend Hilfe, wer kann diese Aufgebe lösen?

 

Ein Autofahrer überholt einen Traktor mit Anhänger, der mit einer gleichförmigen Geschwindigkeit von v_T=18 kmh^-1 auf einer Landstraße fährt. Er setzt s1=30 m hinter dem Traktor mit einer Geschwindigkeit v₁=54 kmh^-1 zum Überholen an und schert s₂=40 m vor dem Traktor mit einer Geschwindigkeit v₂=90 kmh^-1 wieder ein. Das Auto hat eine Länge l_a=5 m, der Traktor mit Anhänger eine Länge l_t =15 m, während des Manövers beschleunigt das Auto gleichmäßig.

a) Wie lange dauert der Überholvorgang?

b) Welche Strecke x legt das Auto auf der Überholspur zurück?

c)Welche Beschleunigung a wirkte auf das Auto während des Überholens?

Answer 1

Umrechnung der Geschwindigkeiten:

v_T = 18 km/h = 5 m/s
v₁ = 54 km/h = 15 m/s
v₂ = 90 km/h = 25 m/s

 

Sei t die Zeit, die das Auto für den Überholvorgang benötigt.

In der Zeit t legt der Trecker

$${ s }_{ T }={ v }_{ T }t=5t$$

Meter zurück.

Das Auto muss währenddessen folgende Strecken zurücklegen (jeweils in Metern):

1) 30 (Abstand der Front des Autos vom Heck des Treckers)
2) 15 (Länge des Treckers inkl. Anhänger (Autofront ist auf Höhe der Treckerfront))
3) 5 (Länge des Autos (Autoheck ist auf Höhe der Treckerfront))
4) 40 (geforderter Abstand des Autohecks von der Treckerfront am Ende des Überholvorgangs)
5) 5 t (die Strecke, die der Trecker während des Überholvorgangs zurücklegt)

Insgesamt muss also das Auto während des Überholvorgangs

$${ s }_{ A }=5t+90$$

Meter zurücklegen.

Während des Überholvorgangs, also während der Zeit t, beschleunigt das Auto gleichmäßig mit der Beschleunigung a von v₁ = 15 m/s auf v₂ = 25 m/s. Dazu benötigt es:

$${ v }_{ 2 }-v_{ 1 }=a*t$$$$\Leftrightarrow t=\frac { { (v }_{ 2 }-v_{ 1 }) }{ a } =\frac { { (25 }-15) }{ a } =\frac { 10 }{ a }$$

Sekunden.

In dieser Zeit schafft der Trecker

$${ s }_{ T }=5t=5\frac { 10 }{ a } =\frac { 50 }{ a }$$

Meter, sodass also das Auto während des Überholvorganges

$${ s }_{ A }=5t+90=\frac { 50 }{ a } +90$$

Meter zurücklegen muss.

Diese Strecke muss gleich derjenigen Strecke s_Beschl sein, die das Auto bei einer gleichmäßigen Beschleunigung von einer Anfangsgeschwindigkeit v₁ =15 m/s während der Zeit t zurücklegt, also gleich der Strecke:

$${ s }_{ Beschl }={ v }_{ 1 }t+\frac { 1 }{ 2 } a{ t }^{ 2 }$$$$=15\frac { 10 }{ a } +\frac { 1 }{ 2 } a\left( \frac { 10 }{ a }  \right) ^{ 2 }=\frac { 150 }{ a } +\frac { 1 }{ 2 } a\frac { 100 }{ { a }^{ 2 } }$$$$=\frac { 200 }{ a }$$

Es muss also gelten:

$${ s }_{ A }={ s }_{ Beschl }$$$$\Leftrightarrow \frac { 50 }{ a } +90=\frac { 200 }{ a }$$$$\Leftrightarrow 50+90a=200$$$$\Leftrightarrow 90a=150$$$$\Leftrightarrow a=\frac { 150 }{ 90 } =\frac { 5 }{ 3 }$$

Die Beschleunigung a des Autos beträgt also a = 5 / 3 m/s²

Daraus ergibt sich für die Dauer t des Überholvorganges (siehe oben):

$$t=\frac { 10 }{ a } =10\frac { 3 }{ 5 } =6$$

Der Überholvorgang dauert also 6 Sekunden.

Für die Länge s_A der Überholstrecke ergibt sich (siehe oben):

$${ s }_{ A }=\frac { 50 }{ a } +90=50\frac { 3 }{ 5 } +90=120$$

Das Auto legt also 120 Meter auf der Überholspur zurück.