Überholvorgang auf der Landstraße. PKW A fährt mit 18 km/h hinter Traktor B

Question

Aufgabe:

Ein 4,2 m länger PKW A fährt mit der Geschwindigkeit 18 km/h auf einer Landstraße hinter einem Traktor B mit einem Anhänger (Gesamtlänge : 15m) her, der diese Geschwindigkeit konstant beibehält. Der PKW hält den Sicherheitsabstand von 9 m (halber Tachometerstand in m) ein. Zur Zeit t = 0s setzt der PKW zum Überholvorgang an: Er beschleunigt mit 3m/s² und zieht an dem Traktor vorbei um vor diesem, wieder mit dem Sicherheitsabstand von 9m, wieder einzuscheren. Bei den folgenden Berechnungen sollen der Aus- und Einscherungsvorgang unberücksichtigt bleiben.

a) Nach welcher Zeit, nach welcher Fahrtstrecke und mit welcher Geschwindigkeit beendet der PKW den Überholvorgang?

b) Kann der PKW den Überholvorgang auch dann noch sicher durchführen, wenn ihm auf der Landstraße ein anderer PKW C mit konstanten 90 km/h entgegenkommt, der zu Beginn des Überholvorgangs noch 190m von PKW Anhänger entfernt ist?

Comments

Ist das nicht (teilweise?) dasselbe wie hier https://www.nanolounge.de/767/autofahrer-uberholt-anhanger-gleichfor… ?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

a) Nach welcher Zeit, nach welcher Fahrtstrecke und mit welcher Geschwindigkeit beendet der PKW den Überholvorgang?

Um die Zeitspanne, die Fahrtstrecke und die Geschwindigkeit, mit der der PKW A den Überholvorgang beendet, zu berechnen, müssen wir einige kinetische Gleichungen und Konzepte verwenden.

Geschwindigkeit des PKW in m/s:
Zunächst müssen wir die Geschwindigkeit des PKW A von km/h in m/s umrechnen.

$v_{A0} = 18 \, \text{km/h} = 18 \times \frac{1000 \, \text{m}}{3600 \, \text{s}} = 5 \, \text{m/s}$

Gesamtdistanz für den Überholvorgang:
Zurückzulegende Distanz setzt sich zusammen aus der Länge des PKW $4,2 \, \text{m}$, der Länge des Traktors mit Anhänger $15 \, \text{m}$ und den zwei Sicherheitsabständen von je $9 \, \text{m}$ vor und nach dem Überholvorgang.

$d_{gesamt} = 4,2 \, \text{m} + 15 \, \text{m} + 9 \, \text{m} + 9 \, \text{m} = 37,2 \, \text{m}$

Beschleunigung und Endgeschwindigkeit:
Da der PKW A mit einer Beschleunigung von $3 \, \text{m/s}^2$ beschleunigt, können wir die Zeit $t$ berechnen, die der PKW benötigt, um die Distanz $d_{gesamt}$ zurückzulegen. Dabei verwenden wir die Gleichung für die Beschleunigungsbewegung:

$d = v_{A0} \cdot t + \frac{1}{2} a t^2$

Wir setzen die bekannten Werte ein um $t$ zu berechnen:

$37,2 = 5t + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot t^2$

Diese Gleichung vereinfacht sich zu:

$0 = \frac{3}{2}t^2 + 5t - 37,2$

Für eine quadratische Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ ist die Lösung:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Setzen wir $a = \frac{3}{2}$, $b = 5$, $c = -37,2$ ein, erhalten wir:

$t = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot \frac{3}{2} \cdot (-37,2)}}{2 \cdot \frac{3}{2}}$

$t = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 223,2}}{3}$

$t = \frac{-5 \pm \sqrt{248,2}}{3}$

Da negative Zeit physikalisch nicht sinnvoll ist, verwenden wir das positive Vorzeichen:

$t = \frac{-5 + 15,75}{3}$

$t = 3,58 \, \text{s}$

Endgeschwindigkeit des PKW A:
$v_{A} = v_{A0} + a \cdot t = 5 \, \text{m/s} + 3 \cdot 3,58 = 5 + 10,74 = 15,74 \, \text{m/s}$

Fahrtstrecke während des Überholens:
Die Fahrtstrecke, die der PKW A während des Beschleunigungsvorgangs zurücklegt, kann direkt aus der zuvor verwendeten Formel entnommen werden:

$d_{A} = v_{A0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 = 5 \cdot 3,58 + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3,58)^2 =17,9 + 19,26 = 37,16 \, \text{m}$

Zusammenfassend dauert der Überholvorgang etwa $3,58$ Sekunden, die Endgeschwindigkeit des PKW A ist $15,74 \, \text{m/s}$ (umgerechnet $56,664 \, \text{km/h}$), und die zurückgelegte Fahrtstrecke während des Überholens beträgt $37,16 \, \text{m}$.

b) Kann der PKW den Überholvorgang auch dann noch sicher durchführen, wenn ihm auf der Landstraße ein anderer PKW C mit konstanten 90 km/h entgegenkommt, der zu Beginn des Überholvorgangs noch 190m von PKW Anhänger entfernt ist?

Berechnen wir, ob der Gegenverkehrspkw C die Stelle erreicht, bevor pkw A den Überholvorgang beendet:
Die Geschwindigkeit des entgegenkommenden PKW $v_{C} = 90 \, \text{km/h} = 25 \, \text{m/s}$.

Die Zeit, die PKW C benötigt, um die Distanz von 190 m zu überbrücken:

$t_{C} = \frac{d_{C}}{v_{C}} = \frac{190}{25} = 7,6 \, \text{s}$

Da PKW A 3,58 Sekunden für den Überholvorgang benötigt, was kürzer als die 7,6 Sekunden ist, die der entgegenkommende PKW C braucht, kann PKW A den Überholvorgang sicher beenden, bevor PKW C die Position von PKW A erreicht.