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a) Wie groß ist die Reibkraft pro Skifahrer?
Um die Reibkraft pro Skifahrer (\(F_{\text{reib}}\)) zu berechnen, benötigen wir zuerst die Normalkraft, die auf den Skifahrer wirkt. Da der Lift zusätzlich zur Hangneigung um weitere 20 Grad zur Piste gezogen wird, wirkt sich das auf die Komponente der Normalen aus.
Die gesamte Gewichtskraft (\(F_g\)) des Skifahrers beträgt \(F_g = m \cdot g\), wobei \(m = 100\) kg die Masse des Skifahrers und \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\) die Erdbeschleunigung ist. Damit erhalten wir:
\(F_g = 100 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2 = 981 \, \text{N}\)
Die Komponente der Gewichtskraft senkrecht zum Hang (\(F_{\text{norm}}\)) wird durch den Cosinus des Hangwinkels bestimmt, da der Lift aber zusätzlich um 20 Grad angehoben wird, muss dieser Winkel vom Hangwinkel abgezogen werden, um den effektiv wirkenden Neigungswinkel (\(\theta\)) zu erhalten:
\(\theta = 30^\circ - 20^\circ = 10^\circ\)
Daraus folgt für die Normalkraft:
\(F_{\text{norm}} = F_g \cdot \cos(\theta) = 981 \, \text{N} \cdot \cos(10^\circ)\)
Berechnen wir \(F_{\text{norm}}\):
\(F_{\text{norm}} ≈ 981 \, \text{N} \cdot 0,9848 ≈ 966,0 \, \text{N}\)
Die Reibkraft (\(F_{\text{reib}}\)) wird mit der Reibungszahl (\(\mu\)) und der Normalkraft (\(F_{\text{norm}}\)) berechnet:
\(F_{\text{reib}} = \mu \cdot F_{\text{norm}}\)
Mit \(\mu = 0,15\) erhalten wir:
\(F_{\text{reib}} = 0,15 \cdot 966,0 \, \text{N} = 144,9 \, \text{N}\)
Die Reibkraft pro Skifahrer beträgt demnach ca. \(144,9\) Newton.
b) Welche Kraft muss der Skilift pro Skifahrer aufbringen, um ihn aus dem Stillstand von 0 auf 3 m/s in einer Sekunde zu beschleunigen?
Um die zusätzlich aufzubringende Kraft (\(F_{\text{extra}}\)) zu berechnen, die notwendig ist, um den Skifahrer von 0 auf 3 m/s in einer Sekunde zu beschleunigen, verwenden wir das zweite Newtonsche Gesetz (\(F = m \cdot a\)).
Die Beschleunigung (\(a\)) wird über die Formel \(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\) berechnet, wobei \(\Delta v = 3 \, \text{m/s}\) (Endgeschwindigkeit minus Anfangsgeschwindigkeit) und \(\Delta t = 1 \, \text{s}\).
\(a = \frac{3 \, \text{m/s}}{1 \, \text{s}} = 3 \, \text{m/s}^2\)
Daher ist die zusätzlich aufzubringende Kraft:
\(F_{\text{extra}} = m \cdot a = 100 \, \text{kg} \cdot 3 \, \text{m/s}^2 = 300 \, \text{N}\)
Diese Kraft ist zusätzlich zu den Kräften aufzubringen, die notwendig sind, um der Hangabtriebskraft und der Reibung entgegenzuwirken. Die Gesamtkraft (\(F_{\text{ges}}\)), die der Lift aufbringen muss, um den Skifahrer sowohl zu beschleunigen als auch die Reibung zu überwinden, setzt sich zusammen aus \(F_{\text{extra}}\) und \(F_{\text{reib}}\):
\(F_{\text{ges}} = F_{\text{extra}} + F_{\text{reib}} = 300 \, \text{N} + 144,9 \, \text{N} ≈ 444,9 \, \text{N}\)
Somit muss der Skilift pro Skifahrer eine Kraft von ca. \(444,9\) Newton aufbringen, um ihn unter den gegebenen Bedingungen aus dem Stillstand auf 3 m/s in einer Sekunde zu beschleunigen und gleichzeitig der Reibung entgegenzuwirken.
