Trägheitsmoment bzgl einer Achse durch den Ursprung

Question

Hallo,

ich bin dabei folgende Aufgabe zu lösen.

Drei homogene Kugeln, die jede eine Masse von 0;100 kg und einen Durchmesser von 5;0 cm besitzen, seien so angeordnet, dass ihre Schwerpunkte die Ecken eines gleichseitigen Dreieck bilden. Die Kugeln beruhren sich jeweils.

a) Berechnen Sie das Tragheitsmoment der Anordnung bezuglich einer Drehachse A, die senkrecht auf der Ebene des gleichseitigen Dreiecks steht und durch den Schwerpunkt der Anordnung geht!

b) Berechnen Sie das Tragheitsmoment der Anordnung fur eine Drehachse B, die in der Ebene des gleichseitigen Dreiecks liegt und die Winkelhalbierende eines Winkels des gleichseitigen Dreiecks ist!

c) Die Anordnung aus den drei Kugeln drehe sich gleichzeitig um die Drehachse A und um die Drehachse B, wobei die Winkelgeschwindigkeit gleich gro ist. Wie gro ist das Verhaltnis der Drehimpulse fur die beiden Drehungen?

Meine Idee:

Bei der Teilaufgabe a) würde ich die Schwerpunktachse als z-Achse definieren, sodass eine Ecke auf die y achse liegt und die anderen in der xy ebene, und dann wäre I=m*(a1+a2+a3), mit a_i gleich Ort der Ecken.

b) hier habe ich leider keine Ahnung wie anfangen soll. Den Steinerschen Satz kann ich nicht anwenden, da die Achse nicht parallel zur Schwerpunktachse liegt. Ich kenne nur die rotations Achse. Wie muss ich hier vorgehen?

c) ich würde hier einfach teil a und b addieren.

Danke

Answer 1

Wenn man das Trägheitsmoment eines Systems mit (Voll-)kugeln berechnet, so darf man das Eigenträgheitsmoment der Kugel nicht vernachlässigen. Dies ist $$J_K=\frac{2}{5}mr^2$$ Die Kugeln liegen 5cm aus einander, somit ist der Abstand R eines Kugelmittelpunktes zur Achse A $$R=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 5\text{cm}=\frac{5}{3}\sqrt{3}\text{cm}$$ Unter Beachtung des Steinerschen Satzes erhält man als Trägheitsmoment für alle drei Kugeln um die Drehachse A $$J_A=3\cdot( J_K + mR^2)=3 \cdot (\frac{2}{5}mr^2 + mR^2)=3m \cdot (\frac{2}{5}r^2 + R^2)\\=3 \cdot 0,1\text{kg} \cdot (\frac{2}{5}2,5^2 + \frac{25}{3})\text{cm}^2=3,25 \text{kg} \text{cm}^2$$

zu b) B geht schon durch den Schwerpunkt des Gesamtsystems. Das spielt in diesem Fall aber keine Rolle. Du bestimmst das Trägheitsmoment bezüglich B von jeder einzelnen Kugel im Prinzip genau wie bei a). Zwei Kugeln haben einen Abstand von 2,5cm zur Drehachse B. Der Mittelpunkt der dritten Kugel liegt auf B. Alle Trägheitsmomente sind zu addieren.

zu c) Es ist nach dem Verhältnis gefragt. Da die Winkelgeschwindigkeiten gleich groß sind, ist das Verhältnis der Drehimpulse gleich dem Verhältnis der Trägheitsmomente um A und um B (s.o.).

Gruß Werner