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Berechnung der resultierenden Kraft bergab
Um die resultierende Kraft bergab für das Auto zu bestimmen, müssen wir zunächst einige grundlegende physikalische Prinzipien und Formeln anwenden. Die Masse des Autos \(m = 1\, \text{t} = 1000\, \text{kg}\) spielt dabei eine wesentliche Rolle, genau wie die Erdbeschleunigung \(g = 9,81\, \text{m/s}^2\), die Haftreibungszahl \( \mu_h = 0,5\) und die gegebene Steigung der Straße.
1. Berechnen der Hangabtriebskraft
Die Hangabtriebskraft (\(F_{Hang}\)) ist die Komponente der Gewichtskraft, die parallel zur schiefen Ebene verläuft und das Auto bergab zu ziehen versucht. Um diese zu berechnen, muss der Winkel der Steigung (\(\theta\)) aus der Steigung der Straße ermittelt werden. Eine Steigung von 0,2 bedeutet, dass für jede Einheit, die man horizontal zurücklegt, die Höhe um 0,2 Einheiten zunimmt. Daher ist der Tangens des Steigungswinkels \(\tan(\theta) = 0,2\).
Jedoch ist für die Berechnung der Hangabtriebskraft direkt die Steigung \(s = 0,2\) ausreichend, da \(F_{Hang} = m \cdot g \cdot s\).
Einsetzen der gegebenen Werte liefert:
\(F_{Hang} = 1000\, \text{kg} \cdot 9,81\, \text{m/s}^2 \cdot 0,2 = 1962\, \text{N}\)
2. Ermittlung der Haftreibungskraft
Die Haftreibungskraft \(F_{Haft}\) wirkt der Hangabtriebskraft entgegen und kann mit der Formel \(F_{Haft} = \mu_h \cdot N\) berechnet werden, wobei \(N\) die Normalkraft ist. In diesem Fall ist die Normalkraft gleich dem Anteil der Gewichtskraft, der senkrecht zur Fahrbahn steht. Für eine schiefe Ebene mit kleiner Steigung, wo \(cos(\theta) \approx 1\), können wir annehmen, dass \(N \approx m \cdot g\).
Also,
\(F_{Haft} = \mu_h \cdot m \cdot g = 0,5 \cdot 1000\, \text{kg} \cdot 9,81\, \text{m/s}^2 = 4905\, \text{N}\)
3. Resultierende Kraft bergab
Die resultierende Kraft bergab (\(F_{res}\)) ergibt sich aus der Differenz der Hangabtriebskraft und der Haftreibungskraft. Aber da zusätzlich eine Bremskraft von \(5000\, \text{N}\) wirkt, muss diese ebenfalls berücksichtigt werden.
Die Gesamtbremskraft setzt sich aus der Haftreibung und der zusätzlichen Bremskraft zusammen:
\(F_{gesamt\_brems} = F_{Haft} + 5000\, \text{N} = 4905\, \text{N} + 5000\, \text{N} = 9905\, \text{N}\)
Die resultierende Kraft bergab, unter Berücksichtigung aller Kräfte, wird:
\(F_{res}= F_{Hang} - F_{gesamt\_brems} = 1962\, \text{N} - 9905\, \text{N}\)
Da die Bremskraft und die Haftreibung zusammengenommen größer sind als die Hangabtriebskraft, ergibt sich eine negative resultierende Kraft, was bedeutet, dass das Auto effektiv gegen die Hangabtriebskraft bremst und nicht bergab beschleunigt:
\(F_{res} = -7943\, \text{N}\)
Dies verdeutlicht, dass das Auto mit einer Gesamtkraft von \(7943\, \text{N}\) gegen die Hangabtriebsrichtung gebremst wird.
