Antwort mit KI erzeugt
Position des Schiebestiftes für den Zeitpunkt \( t_{0} = 0 \)
Um die Position des Schiebestiftes zum Zeitpunkt \( t_{0} = 0 \) s zu bestimmen, betrachten wir, dass der Körper K durch die Nulllage nach unten bewegt wird. Dies bedeutet, dass der Schiebestift in der höchsten Position relativ zur Mittellage sein muss, um die Bewegung nach unten zu initiieren. Da der Exzenter sich im Uhrzeigersinn dreht, befindet sich der Schiebestift bei \( t_{0} = 0 \) an der Position, die um 12 Uhr auf einem Ziffernblatt entspricht, wenn die Nulllage als Mittelpunkt betrachtet wird. Daher liegt der Schiebestift an der höchsten Position.
Gleichung für die Elongation y des Körpers K
Eine Gleichung, die die Elongation \(y\) des Körpers \(K\) von der Zeit \(t\) abhängig beschreibt, lautet:
\(
y(t) = -8,0 \cdot 10^{-3} \cdot \sin\left(\frac{12\pi}{5}t\right) \, \text{m}
\)
Dabei ist \(8,0 \, \text{mm}\) oder \(8,0 \cdot 10^{-3} \, \text{m}\) der Radius des Kreises und die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) wird durch die Umwandlung der Frequenz \(f = 1,2 \, \text{Hz}\) in \(\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 1,2 \) bestimmt, was circa \(7,54 \, \text{rad/s}\) ergibt. Hier scheint jedoch ein Fehler in der Berechnung der Frequenzumwandlung zu sein. Korrekt ist:
\(
\omega = 2\pi \cdot f = 2\pi \cdot 1,2 = 2,4\pi \approx 7,54 \, \text{rad/s}
\)
Somit ist, wenn der Faktor \(12\pi/5\) korrekt für Ihre spezifische Aufgabenstellung benötigt wird, die zuvor gegebene Gleichung für \(y(t)\) in diesem Kontext gültig. Anderenfalls müsste sie \(\omega = 2,4\pi\) enthalten:
\(
y(t) = -8,0 \cdot 10^{-3} \cdot \sin\left(2,4\pi t\right) \, \text{m}
\)
Elongation, Geschwindigkeit und deren Orientierung für \(t_{1}=0,75 \, \text{s}\)
Für \(t_{1}=0,75 \, \text{s}\):
\(
y(0,75) = -8,0 \cdot 10^{-3} \cdot \sin\left(\frac{12\pi}{5} \cdot 0,75\right) \approx -8,0 \cdot 10^{-3} \cdot \sin(1,8\pi) \approx -8,0 \cdot 10^{-3} \, \text{m}
\)
was offensichtlich nicht korrekt mit Ihrem Ergebnis von \(-49 \cdot 10^{-3}\, \text{m}\) übereinstimmt. Ohne die korrekte Frequenz bzw. Winkelgeschwindigkeit und den dazugehörigen Sinuswert zu diesem Zeitpunkt zu kennen, lässt sich der Fehler in der Elongation nicht genau bestimmen.
Maximalbetrag der Beschleunigung und Körperposition
Der Maximalbetrag der Beschleunigung tritt an den Umkehrpunkten der Schwingung auf, wo die Elongation maximal ist (\(\pm8,0 \, \text{mm}\)). Die Beschleunigung ist gegeben durch:
\(
a = -\omega^2 \cdot y_{\text{max}}
\)
Mit \(y_{\text{max}} = 8,0 \cdot 10^{-3} \, \text{m}\) und \(\omega = 7,54 \, \text{rad/s}\) (wenn diese korrekt angepasst ist):
\(
a_{\text{max}} = -(7,54)^2 \cdot 8,0 \cdot 10^{-3} \approx -453,6 \cdot 10^{-3} \, \text{m/s}^2 = -0,454 \, \text{m/s}^2
\)
Kraft, die die Schnur auf den Körper K ausübt, im unteren Umkehrpunkt
Im unteren Umkehrpunkt wirkt auf den Körper \(K\) die maximale Kraft aufgrund der Gravitation und der durch die Schwingung erzeugten zusätzlichen Beschleunigung. Die Gesamtkraft \(F\) ist die Summe aus der Gewichtskraft und der vom Exzenter verursachten Kraft. Für die Gewichtskraft gilt:
\(
F_g = m \cdot g = 0,2 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2 = 1,962 \, \text{N}
\)
Wenn die maximale Beschleunigung, wie zuvor diskutiert, -0,454 m/s^2 ist (bedenken Sie, die Richtung der Beschleunigung ändert hier nichts am Betrag der wirkenden Kraft), dann beträgt die zusätzliche Kraft:
\(
F_{\text{extra}} = m \cdot a_{\text{max}} = 0,2 \cdot (-0,454) = -0,091 \, \text{N}
\)
Die Gesamtkraft, die von der Schnur auf den Körper K ausgeübt wird, wenn sich dieser im unteren Umkehrpunkt befindet, wäre dann:
\(
F_{\text{Seil}} = F_g + |F_{\text{extra}}| \approx 1,962 \, \text{N} + 0,091 \, \text{N} = 2,053 \, \text{N}
\)
Jedoch zeigt dies, dass ursprüngliche Werte und Annahmen möglicherweise fehlerhaft oder unvollständig sind, insbesondere im Hinblick auf die gegebene Geschwindigkeit und Elongation für \(t_1\) und die maximale Beschleunigung. Zur genauen Überprüfung wäre eine detaillierte Betrachtung der Bewegungsgleichung und der Kraftberechnung erforderlich.
