3 Keplersches Gesetz anwenden Erde-Mond System Verständnisfrage und Aufgabe

Question

Verständnisfrage:

Auf http://www.leifiphysik.de/mechanik/weltbilder-keplersche-gesetze steht folgendes:

Für das Zentralgestirn Sonne gilt für alle umlaufenden Körper:

$$ {\left( {\frac{{{T^2}}}{{{a^3}}}} \right)_{Sonne}} = 2,97 \cdot {10^{ - 19}}\frac{{{s^2}}}{{{m^3}}} $$

Auf was bezieht sich dabei die Umlaufzeit und die große Halbachse?

Normalerweise vergleicht man doch zwei Körper, welche um ein Zentralgestirn kreisen oder was kapiere ich nicht?

Dazu eine passende Aufgabe:

Angenommen man würde von der Erde(Zentralgestirn) nur die Masse m kennen, die Gewichtskraft und den Radius r_E .Man möchte die Umlaudauer eines Mondes der sich in einer "Kreisbahn" mit dem Radius r_M um die Erde bewegt berechnen. Welche Werte verwendet man dann beim 3.Keplerschen Gesetz oder was würde man sonst dafür benutzen?

(T₁/T₂)^2=(r₁/r₂)^3

Skizze:

https://www.matheretter.de/rechner/geozeichner/?draw=kreis(0%7C0%206)+kreis(0%7C0%202)+strecke(0%7C0%205%7C3.3)+strecke(0%7C0%20-1.41%7C1.41)&scale=10

Die Himmelsobjekte kann man als kugelförmig betrachten

Answer 1

Salut,

(T² / a³)_Sonne = 2,97 * 10^-19 s²/m³

Auf was bezieht sich dabei die Umlaufzeit und die große Halbachse?

Auf einen beliebigen Planeten in unserem Sonnensystem :).

Die Keplerschen Gesetze gelten für alle Bewegungen von Himmelskörpern um ein Zentralgestirn bzw. einen Zentralkörper. Der obige Wert ist die berühmte Keplerkonstante C für das System Sonne - Merkur, Sonne - Venus, Sonne - Erde usw.

Beispiel Sonne - Erde:

C_Sonne = T² / r³ = (365,26 * 24 * 3600s)² / (149,6 * 10^9m)³ = 2,97 * 10^-19 s²/m³

Dieser Wert ist für alle Planeten, die die Sonne umkreisen , unveränderlich.

Anstelle von a³ kannst du übrigens auch r³ benutzen, da die mittleren Entfernungen r der Planeten von der Sonne immer übereinstimmen mit den großen Halbachsen a der Bahnen.

Dies führt zu deiner letzten Frage bzw. meiner Antwort:

Sind nämlich r_Erde und r_Mond bereits gegeben, wie in deiner Aufgabe, so kannst du wie folgt die Umlaufzeit des Mondes über das 3. Keplersche Gesetz berechnen:

(T_Erde 365 / T_Mond) ² = (r_Erde / r_Mond)³ 

T_Mond = √(( 365²) / (r_Erde / r_Mond)³)

Bonne chance :).

Comments

Hallo, danke für deine hilfreiche Antwort. Leider, darf ich nicht davon ausgehen, dass mir die Umlaufzeit der Erde bekannt ist-auch wenn ich ein Erdbewohner bin-. Also steht die Beantwortung der Aufgabe noch offen ;)

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Mit den gegebenen Werten kann man natürlich auch Newtons Gravitationsgesetz bemühen und daraus wunderbar das 3. Keplersche Gesetz herleiten.

v =  G * M_Erde / r_Mond = √ ((6,67 * 10^-11m³kg^-1s^-2 * Masse_Erde) / (r_Mond)) = x km/s

Die Herleitung des 3. Keplerschen Gesetzes über Newton habe ich hier ausführlich beschrieben:

https://www.nanolounge.de/10198/wie-steht-fz-m-v-mit-der-formel-zusammen-gravitationsgesetz

(Dennoch hat es mich sehr gewundert, dass ihr die Umlaufdauer der Erde um die Sonne nicht benutzen dürft, an sich ist das ja ein Wert, der gang und gäbe ist...)

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Eine Ergänzung zur Berechnung der Umlaufzeit des Mondes, in Verbindung mit den oben gegebenen Werten:

T_M = √(( 4*π² * r³) / (γ * M_E)

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Damit erkennbar bleibt, dass alles unter einem Wurzelzeichen steht:

T_M = √(( 4*π² * r³) / (γ * M_E))

Answer 2

Hallo,

(ohne Gewähr, da schon lange nicht mehr gemacht).

Der Index "Sonne" bezieht sich auf alle um die Sonne laufenden Körper. Da das Keplersche Gesetz für alle Körper gilt, kannst Du die Gleichheit schreiben, wie Du es unten gemacht hast. Das bedeutet aber, dass

$$ {T^2 \over a^3} = {\rm konst} $$

für ein bestimmtes Zentralgestirn, und diese Konstante kannst Du für die Sonne leicht berechnen.

Grüße,

M.B.