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Lösung der Aufgabenstellung zur Berechnung der Elastizitätszahl
Bei der Aufgabe geht es darum, die Elastizitätszahl (oft auch als Restitutionskoeffizient bezeichnet) zu berechnen, welche ein Maß für die elastische Eigenschaft eines Stoßes zwischen zwei Körpern ist. Sie wird definiert durch das Verhältnis der Geschwindigkeiten nach dem Stoß zur Geschwindigkeit vor dem Stoß. Die Elastizitätszahl wird so formuliert:
\( e = \frac{v_2^{\text{e}} - v_1^{\text{e}}}{v_1^{\text{a}} - v_2^{\text{a}}} \)
Hier wird angenommen, dass \(v_2^{\text{a}} = 0\) (die Stahlplatte bewegt sich nicht), und da es um das Springen der Kugel von der Platte geht, ist ebenso \(v_2^{\text{e}} = 0\), weil die Platte sich nach dem Stoß auch nicht bewegt. Somit vereinfacht sich die Formel zu:
\( e = \frac{-v_1^{\text{e}}}{v_1^{\text{a}}} \)
Die Idee ist nun, die Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß zu berechnen, welche von den Höhen abhängen, von denen die Kugel fällt bzw. bis zu denen sie zurück springt.
Die Energieerhaltung besagt, dass die potentielle Energie herunterfallender Kugel in kinetische Energie umgewandelt wird:
\( mgh = \frac{1}{2} mv^2 \)
Dabei ist:
- \(m\) die Masse der Kugel,
- \(g\) die Erdbeschleunigung (\(9.81 \, \text{m/s}^2\)),
- \(h\) die Höhe,
- \(v\) die Geschwindigkeit.
Um \(v\) zu berechnen, stellen wir die Gleichung nach \(v\) um:
\( v = \sqrt{2gh} \)
Für die Geschwindigkeit \(v_1^{\text{a}}\) unmittelbar vor dem Stoß (also beim Fallen aus 3m Höhe):
\( v_1^{\text{a}} = \sqrt{2 \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 3 \, \text{m}} \)
Für die Geschwindigkeit \(v_1^{\text{e}}\) unmittelbar nach dem Stoß (also die Geschwindigkeit benötigt, um bis zu 2.5m zu springen):
\( v_1^{\text{e}} = \sqrt{2 \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 2.5 \, \text{m}} \)
Ein Rechenfehler lag in der Annahme der Geschwindigkeiten, insbesondere in der Wurzelformel. Die korrekten Formeln sind:
\( v_1^{\text{a}} = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 3} \approx \sqrt{58.86} \approx 7.67 \, \text{m/s} \)
\( v_1^{\text{e}} = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 2.5} \approx \sqrt{49.05} \approx 7.00 \, \text{m/s} \)
Jetzt setzen wir diese Werte in die Formel für \(e\) ein. Dabei zu beachten ist, dass \(v_1^{\text{e}}\) als Geschwindigkeit nach oben gerichtet ist, wir aber die Beträge der Geschwindigkeiten vergleichen, daher nimmt man für die Berechnung des Betrages den positiven Wert von \(v_1^{\text{e}}\), obwohl die Kugel nach dem Stoß nach oben und nicht nach unten bewegt:
\( e = \frac{-v_1^{\text{e}}}{v_1^{\text{a}}} = \frac{-7.00}{7.67} \approx -0.91 \)
Die Elastizitätszahl sollte eigentlich einen positiven Wert zwischen 0 und 1 haben, wobei 1 einem vollkommen elastischen Stoß entspricht. Hier dürfte ein Verständnisfehler vorliegen, denn durch das Minuszeichen scheint es, als ob die Geschwindigkeiten falsch interpretiert werden. Da jedoch \(e\) das Verhältnis der Beträge der Geschwindigkeiten ist, sollte die Formel korrekterweise ohne Minuszeichen notiert werden:
\( e = \frac{7.00}{7.67} \approx 0.91 \)
Hierdurch erhalten wir eine Elastizitätszahl von \(e \approx 0.91\), die plausibel erscheint, da sie in einem realistischen Rahmen für die Beschreibung eines Stoßes zwischen Stahlkugel und Stahlplatte liegt, der nicht vollkommen elastisch ist.
Anwendung des Koeffizienten bei nicht vollkommen elastischen und nicht vollkommen unelastischen Stößen
Der Restitutionskoeffizient \(e\) wird generell verwendet, um den Grad der Elastizität eines Stoßes zu beschreiben. Ein Wert von \(e=1\) bedeutet, dass kein kinetischer Energieverlust in andere Energieformen (wie innere Energie oder Wärme) stattfindet, und ein Stoß vollkommen elastisch ist. Ein Wert von \(e=0\) deutet auf einen vollkommen unelastischen Stoß hin, bei dem die Stoßpartner nach dem Stoß zusammenbleiben und sich mit gemeinsamer Geschwindigkeit weiterbewegen. Werte von \(e\) zwischen 0 und 1 beschreiben realistischere Stöße, bei denen ein Teil der kinetischen Energie in andere Formen umgewandelt wird.
