Gleitschirmflieger Vektor

Question

Kann mir hier jemand helfen? Welche Zeit soll ich zum rechnen benutzen?

Answer 1

a) Damit der Gleitschirmspringer den Zielpunkt trifft, muss dieser Teil der Kurve r(t) sein.

Man muss also Komponentenweise ein t ermitteln und das muss dann für alle drei Komponenten gleich sein.

Es entstehen 3 Gleichungen:

     x-Richtung: R * cos (ω*t) = 50 m

     y-Richtung: R * sin  (ω*t)  = 50 m

     z-Richtung: z₀ + v_0z * t = 0   

Angefangen mit dem leichtesten, der z-Komponente:

Gegebene Werte einsetzen: 3000 m - 2,5 m/s * t = 0               (Aufpassen mit den Einheiten hier)

                                                       t =1200 s = 20 m

Für dieses t müssen die anderen beiden Gleichungen erfüllt sein, damit der Zielpunkt Teil der Flugkurve ist.

Also einsetzen:             100 m * cos (0,02π s^-1* 1200s) = 100 m   ≠ 50 m

                                             100 m * sin  (0,02π s^-1* 1200s) = 0 m   ≠ 50 m

Der Zielpunkt ist also nicht Teil der Kurve, stattdessen landet der Gleitschirmflieger bei r(1200s) = (100m; 0m; 0m)^T

Der Abstand zwischen diesem Punkt und dem angepeilten Zielpunkt errechnet sich wie folgt:

       Abstand = √[(100m-50m)² + ( 0m - 50m)² + ( 0m - 0m)²] = √5000 m = 70,71m

b) Die Geschwindigkeit ist nichts anderes als die 1. Ableitung des Ortes nach der Zeit. Also folgt:

         v(t) = r°(t) = (-Rω * sin (ω*t); Rω * cos (ω*t); v_0z)^T

         Werte einsetzen:

         v(t=637,5s) = (-4,44m/s;-4,44m/s; -2,5m/s)^T

c) Der Betrag des Geschwindigkeitsvektors errechnet sich wie folgt:

        Ιv(t)Ι = √[(-Rω * sin (ω*t))² + (Rω * cos (ω*t))² + v_0z²] = √[R²ω² *             sin²(ω*t)+R²ω² * cos² (ω*t) + v_0z²]

                = √[R²ω² * (sin² (ω*t) + cos² (ω*t)) + v_0z²] = √[R²ω²+ v_0z²] = 6,76 m/s

                 (unabhängig von t, also konstant)

    Kinetische Energie:  E_kin= 1/2 * m * v² = 1/2 * 100 kg * (6,76m/s)² = 338,1 J

Comments

Der Gute wiegt 110 kg und das Quadrieren der Geschwindigkeit habe ich unterschlagen.

Also ist die kinetische Energie: E_kin= 2513,4 J

Answer 2

hi

a)

Wenn das Gleichungssystem

100 cos(0.02π t) = 50
100 sin(0.02π t) = 50
3000 - 2.5t = 0

eine Lösung hat, dann landet der Springer auf dem gewünschten Ziel.

2.5t = 3000
t = 3000 /2.5
t = 1200 s

100 cos(0.02π 1200) = 100 m
100 sin(0.02π 1200) = 0 m

Der Gleitschirmspringer trifft die Zielmarkierung nicht,
er landet am Ort (100m, 0m, 0m) im Abstand von
√((50 - 100)^2 + (50 - 0)^2) = 70.71 m
zum Ziel.

b)
Um v(t) zu erhalten, leiten wir r(t) komponentenweise nach der Zeit ab.
vx(t) = (R cos(ωt))' = -Rω sin(ωt)
vy(t) (R sin(ωt))' = Rω cos(ωt)
vz = voz

In Vektorschreibweise haben wir die Geschwindigkeit
v(t) = (-Rω sin(ωt), Rω cos(ωt), voz)
v(t) = (-100*0.02π*sin(0.02π*t), 100*0.02π*cos(0.02π*t), -2.5)

c)
Der Betrag der Geschwindigkeit ist
|v(t)| = √((-Rω sin(ωt))^2 + (Rω cos(ωt))^2 + voz^2)
|v(t)| = √( R^2ω^2 sin^2(ωt) + R^2ω^2 cos^2(ωt) + voz^2 )
|v(t)| = √( R^2ω^2(sin^2(ωt) + cos^2(ωt)) + voz^2 )
|v| = √( R^2ω^2 + voz^2 ) | t kommt nicht vor, |v| ist also von der Zeit unabhängig
|v| = 6.7 m/s

Ekin = 1/2 mv^2 = 55kg *  (6.76 m/s)^2 = 2513.4 J