Ableiten und Integration (nach t) von folgender Formel: vx(t) = vm cos 2π (t/T)

Question

Hallo ich bräuchte Hilfe beim Ableiten und der Integration nach (t) folgender Formel:

v_x(t) = v_m cos 2π (t/T)

 

Als Ergebnis beim Intergieren kommt folgendes raus:

x = ((v_mT)/(2π)) (sin 2π (t/T) -1)

Beim Ableiten:

a_x = (-2π/ T) v_m sin2π (t/T)

 

Im grundegenommen kann ich integrieren und ableiten, aber irgendwo mache ich immerwieder Fehler. Bitte helft mir!!!

Answer 1

Hi

v_x(t) = v_m cos(2πt/T)
x(t) = ∫v_m cos(2πt/T) dt
= v_m∫cos(2πt/T) dt
_______________________________
u = 2πt/T, du = 2π/T dt, dt = Tdu/2π
_______________________________
= Tv_m/2π ∫cos(u) du
= Tv_m sin(u)/2π + C
= Tv_m sin(2πt/T)/2π + x₀ mit C = x₀

a_x(t) = v'_x(t) = -2π/T v_m sin(2πt/T)

Answer 2

v_x(t) = v_m cos (2π (t/T))

Innere Funktion u = 2π (t/T), mit u' = (2π /T).

äussere Funktion cos(u) mit cos'(u) = -sin(u) 

v_x(t) = v_m cos (2π (t/T)) 

v_x'(t) = - (2π /T)*v_m sin (2π (t/T))

Wurde bei der Integration von π/2 bis t integriert? Oder hast du da noch eine Anfangsbedingung?

x = ((v_mT)/(2π)) (sin 2π (t/T) -1)

Stammfunktion wäre eigentlich

F(t) = v_m sin (2π (t/T)) * (T/2π) + C

Comments

AB ist gegeben für to gilt = (T/4)

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Meinst du Anfangsbedingung für to = 0?

F(0) = v_m sin (2π (0/T)) * (T/2π) + C = T/4

C = T/4 -  v_m sin (2π (0/T)) * (T/2π) 

Somit wäre C= T/4 unabh. von v_m.

Also F(t) = v_m sin (2π (t/T)) * (T/2π) + T/4

und man kommt nicht auf das '-1'.

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eh ich für nochmehr Verwirrung sorge

 

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x(t) = Tvm sin(2πt/T)/2π [in den Grenzen von t₀ bis t] + x₀
x(t) = Tvm (sin(2πt/T)/2π - sin(2πt₀/T)/2π ) + x₀
x(t) = Tvm (sin(2πt/T)/2π - sin(2πT/4T)/2π ) + x₀
x(t) = Tvm (sin(2πt/T)/2π - sin(π/2)/2π ) + x₀
x(t) = Tvm (sin(2πt/T)/2π - 1/2π ) + x₀
x(t) = Tvm/2π (sin(2πt/T) - 1) + x₀
 

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@Gorgar: Besten Dank!

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Gerne Lu! :-)

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Grenzen !!!  :D

Danke