Vertikaler Wurf nicht mehr in Bodennähe

Question

Ich habe scheinbar gerade eine kleine Denkblockade.

Vielleicht hat jemand von Euch einen Ansatz.

Wir befinden uns auf der Erde. Mit welcher Geschwindigkeit müsste ein Gegenstand in den Himmel geschossen werden, damit er erst 10 Minuten später wieder zur Erde zurück kommt.

Der Schuss soll dabei idealisiert ohne Luftreibung und Energieverlust stattfinden.

Beachte, dass die Gravitationskonstante g nur an der Erdoberfläche gilt.

Wenn ich den Energieerhalt nehme dann kann ich berechnen wie hoch der Stein fliegt. 

Vielen lieben Dank.

Comments

Hallo,

das allgemeine Gravitationsgesetz mit g in Abhängigkeit von r. Integral bilden. Ggfs. nur für die eine Richtung also 5 min, dass müsste ja auch da gelten.

Gruss

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ich müsste da doch sicher integrieren wenn das g nicht über die gesamte Distanz konstant ist. 

v = v0 - a · t

v = v0 - G·M·m/r^2 · t

Nun ist ja das Problem das r wiederum abhängig ist von t. Läuft das nicht irgendwie auf eine Differentialgleichung hinaus ?

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Solche Fragen stelle ich mir manchmal auch.
Ich hatte ja nie Unterricht in höherer Mathematik / Physik.

Noch schlimmer wird es ja wenn man sich die Frage stellt :
2 Massen im Weltraum z.B. Sonne und Erde. Die Erde befindet
sich nicht in einer Umlaufbahn. Abstand Sonne / Erde 6 Lichtminuten.

Beide Massen bewegen sich aufgrund der Gravitation aufeinander zu.
Die Gravitationskraft verbreitet sich ja nur mit Lichtgeschwindigkeit
im Raum. Diese Tatsache müßte auch noch berücksichgt werden
um den Bewegungsablauf zu beschreiben. Oh je.

Ich war auch schon einmal am Überlegen ob ich nach einem Buch
" Differentialgleichung  für Beginner "  Ausschau halten sollte.

Answer 1

Wie waere es mit dem zweiten Newtonschen Gesetz?

$$F=ma$$

$$G\frac{M}{r^2}=\ddot{r}$$

Dann mit \(\dot{r}\) multiplizieren, \(\frac{d}{dt}(\dot{r})^2=2\dot{r}\ddot{r}\) erinnern und 1x integrieren:

$$\dot{r}=\sqrt{C-\frac{2GM}{r}}\quad\text{(aufsteigender Ast)}$$

Variablentrennung:

$$t=\int_R^r\frac{d\rho}{\sqrt{C-2GM/\rho}}$$

Das ist dann die Zeit bis zum Erreichen der Hoehe \(r\).

Jetzt noch die Anfangsbedingungen \(r(0)=R\), \(\dot{r}(0)=v_0\) verwerten und \(\dot{r}=0\) im hoechsten Punkt bemerken.

So ungefaehr sollte es was werden. Oder auch nicht. :) Ich glaube, das stimmt was nicht. Betrachte es als Ansatz!

Comments

Es faengt mit F = -ma an, weil Bewegung und Gravitationskraft gegensaetzliche Richtungen haben, aber sonst sieht's gut aus. Mann muss bloss aus den zwei '-' jeweils ein '+' machen.

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Hallo,

nein, \( F= m\cdot a \) ist korrekt. Am besten ist noch

\[ \vec{F} = m \cdot \vec{a} \]

Die Richtung einer Kraft und die Richtung der dazugehörigen Beschleunigung sind immer gleich. 

In der Gleichung \( F=m\cdot a\) kommt die Anfangsbewegung noch gar nicht vor. Korrekt ist lediglich, dass die Anfangsgeschwindigkeit (von der Erde weg) und g (Beschleunigung durch die Gravitation der Erde) in unterschiedliche Richtungen gehen. Dies muss dann bei der Kombination der unterschiedlichen Gleichungen zum Beschreiben der Bewegung berücksichtigt werden, wenn man mit den Beträgen und nicht mit Vektoren arbeitet. Beträge zu nehmen bietet sich selbstverständlich an, da alles eindimensional beschrieben werden kann.

Gruß

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Die unterschiedliche Richtung von F und der Richtung, in der r zunimmt, muss zwingend beim Aufstellen der DGl beruecksichtigt werden. Sie lautet deshalb wie in der Korrektur zur Antwort angedeutet \(\ddot{r}=-GM/r^2\) und nicht \(\ddot{r}=GM/r^2\). Siehe z.B. W. Walter, Gewoehnliche Differenzialgleichungen, Springer.

Im Uebrigen kann man vektorielle Groessen in 1D als Skalare mit Vorzeichen ansetzen. Wenn ich F= -ma mit Referenzrrichtung von r gegen die Kraft schreibe, dann krieg ich a halt negativ raus, was auch wieder dazu fuehrt, dass Kraft und Beschleunigung dieselbe Richtung haben.

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Hallo Gast ia2222

ich befürchte meine Anmerkung wurde von Dir nicht verstanden.

Mir geht es nur um Zitat:

Es faengt mit F = -ma an, weil Bewegung und Gravitationskraft gegensaetzliche Richtungen haben, aber sonst sieht's gut aus.

Zitat Ende.

Das würde bedeuten, für \( F = F_G \) würde der Körper noch beschleunigt, denn:

Für \( F_x=m\cdot a_x \) gilt immer! dass \( F \) und \( a \) die gleiche Richtung haben, ausser man vergleicht die Beschleunigung einer Kraft mit der Gegenkraft, dann muss das aber auch ersichtlich sein. Übe ich auf einen Körper in eine Richtung eine Kraft aus, geht auch die dazu gehörige Beschleunigung in diese Richtung. Bei dem Ansatz \( F=-ma \) hätten \( a \) und \( F \) am Ende unterschiedliche Richtungen. 

Dass man beim Aufstellen der DGL die unterschiedlichen Richtungen von \( v_0 \) und ( \( a\) und \( F \) ) berücksichtigen muss habe ich gar nicht bestritten!

Es muss beim Einsetzen der resultierenden Beschleunigung aus \( F = m \cdot a \) in die Bewegungsgleichung für den gegebenen Körper natürlich die Richtung entsprechend berücksichtigt werden. Es gilt aber dann dass auch \( F \) genau wie \( a \) negativ zur Richtung von \( v_0 \) ist.

Gruss