Physik: Dichte von Graphit

Question

Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche eines Würfels aus reinem Kohlenstoff (Graphit) mit der Masse m = 18 kg. Hinweiß: Für die Dichte von Graphit gilt p= 2,25 * 10³ kg/m³

 

A) Wie verändert sich das Volumen bzw. die Oberfläche, wenn die Masse verachtfacht wird (wobei die Dichte unverändert bleiben soll?

 

B) Wie verändert sich das Volumen bzw. die Oberfläche, wenn die Dichte verachtfacht wird (wobei die Dichte unverändert bleiben soll?

 

Hinweiß: Angabe der Lösung in g cm ^-3

 

^___

 

 

^{Besten Dank im Voraus}

Comments

m = 18kg = 18E3 g

1kg/m³ = 1000g/(100)³cm³ = 1000g/(10²)³cm³ =  10E3 g/10E6 cm³ = 10E-3 g/cm³

ρ = 2.25 E3 kg/m³ = 2.25E3E-3 g/cm³

ρ = m/v -> v = m/ρ = 18E3g/2.25 E3E-3 g/cm³ = 18E3g/2.25 g/cm³ = 18E3 cm³ = 8*10³ cm³

V = {l}^{3} \\
l = \sqrt[3]{V} \\
A = {l}^{2} = (\sqrt[3]{V})^{2} = (V^{\frac{1}{3}})^2 = \sqrt[3]{V^{2}}
\\ \\
A) \\
V = \frac{a\cdot m}{\rho }
\\
A = \sqrt[3]{ \left (\frac{a\cdot m}{\rho}  \right )^{2} }
\\\\
B) \\
V = \frac{m}{a\cdot \rho }
\\
A = \sqrt[3]{ \left (\frac{m}{a\cdot\rho}  \right )^{2} }

Answer 1

Volumen des Würfels:

Es gilt allgemein: Volumen = Masse / Dichte

also gilt für das Volumen V des Würfels mit der Masse m = 18 kg und der Dichte ρ = 2250 kg/m³ :

V = m / ρ = 18 [kg] / 2250 [kg/m³] = 0,008 [m³] = 8 [dm³] = 8000 [cm³]

Oberflächeninhalt des Würfels:

Für den Oberflächeninhalt O eines Würfels mit der Kantenlänge a gilt:

O = 6 * a ²

Die Kantenlänge a kann aus dem Volumen V des Würfels errechnet werden:

a = 3.√ ( V ) = V ^{1 / 3}

sodass also gilt:

O = 6 * ( V ^{1 / 3} ) ² = 6 * V ^{2 / 3}

Mit V = 8000 [cm³] ergibt sich:

O = 6 * 8000 ^{2 / 3} =  2400 [cm²]

 

A) Veränderung von Volumen und Oberflächeninhalt bei Änderung der Masse um den Faktor 8

Neues Volumen:

Ich berechne zunächst allgemein, um welchen Faktor sich das Volumen verändert, wenn die Masse um den Faktor k verändert wird:

Sei also m_neu = k * m

Dann gilt für das Verhältnis von neuem Volumen V_neu zum bisherigen Volumen V (bei gleichbleibender Dichte ρ):

V_neu / V = ( k m / ρ ) / ( m / ρ ) = ( k m / ρ ) * ( ρ / m ) = k

<=> V_neu = k * V

Eine Änderung der Masse  um den Faktor k führt also zum k-fachen Volumen.

Für k = 8 ergibt sich daher das 8-fache Volumen, vorliegend also

V_neu = 8 * V = 8 * 2400 [cm³] = 19200 [cm³]

 

Neuer Oberflächeninhalt:

Für das Verhältnis von neuem Oberflächeninhalt O_neu zu bisherigem Oberflächeninhalt O gilt bei k-facher Masse bzw. dem daraus folgenden k-fachen Volumen:

O_neu / O = 6 * V_neu ^{2 / 3} / ( 6 * V ^{2 / 3})

= ( V_neu / V ) ^{2 / 3}

= ( k * V / V ) ^{2 / 3}

= k ^{2 / 3}

<=> O_neu = O * k ^{2 / 3}

Eine Veränderung des Volumens um den Faktor k führt also zur Veränderung des Oberflächeninhaltes um den Faktor k ^{2 / 3}

Für k = 8 ergibt sich daher der 8 ^{2 / 3} - fache Oberflächeninhalt, vorliegend also:

O_neu = O * 8 ^{2 / 3} = O * 4 = 2400 [cm²] * 4 = 9600 [cm²]

 

B) Veränderung von Volumen und Oberflächeninhalt bei Änderung der Dichte um den Faktor 8

Neues Volumen:

Ich berechne zunächst allgemein, um welchen Faktor sich das Volumen verändert, wenn die Dichte um den Faktor k verändert wird:

Sei also ρ_neu = k * ρ

Dann gilt für das Verhältnis von neuem Volumen V_neu zum bisherigen Volumen V (bei gleichbleibender Masse m):

V_neu / V = ( m / ( k ρ ) ) / ( m / ρ ) = ( m / ( k ρ ) ) * ( ρ / m ) = 1 / k

<=> V_neu = V * ( 1 / k )

Eine Änderung der Dichte um den Faktor k führt also zum ( 1 / k ) - fachen Volumen.

Für k = 8 ergibt sich daher das ( 1 / 8 ) - fache Volumen, vorliegend also

V_neu = V * ( 1 / 8 ) = 2400 [cm³] / 8 = 300 [cm³]

 

Neuer Oberflächeninhalt:

Für das Verhältnis von neuem Oberflächeninhalt O_neu zu bisherigem Oberflächeninhalt O gilt bei k - facher Dichte bzw. dem daraus folgenden ( 1 / k ) - fachen Volumen:

O_neu / O = 6 * V_neu ^{2 / 3} / ( 6 * V ^{2 / 3})

= ( V_neu / V ) ^{2 / 3}

= ( V * ( 1 / k )  / V ) ^{2 / 3}

= ( 1 / k ) ^{2 / 3}

<=> O_neu = O * ( 1 / k ) ^{2 / 3}

Eine Veränderung der Dichte um den Faktor k bzw. führt also zur Veränderung des Oberflächeninhaltes um den Faktor ( 1 / k ) ^{2 / 3}

Für k = 8 ergibt sich daher der ( 1 / 8 ) ^{2 / 3} - fache Oberflächeninhalt, vorliegend also:

O_neu = O * ( 1 / 8 ) ^{2 / 3} = O * 0,25 = 2400 [cm²] * 0,25 = 600 [cm²]