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Berechnung der Geschwindigkeit des Springers bei der Landung
Um die Geschwindigkeit des Springers bei der Landung unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes zu berechnen, müssen wir die Kräfte, die auf den Springer wirken, betrachten. Der Luftwiderstand \(F_L\) und die Gravitationskraft \(F_G\) sind hier relevant. Die Gravitationskraft \(F_G\) berechnet sich durch:
\( F_G = m \cdot g \)
wobei \(m = 60 \, \text{kg}\) die Masse des Springers und \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\) die Erdbeschleunigung ist, ergibt
\( F_G = 60 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2 = 588,6 \, \text{N} \)
Der Luftwiderstand \(F_L = 133,3 \, \text{N}\) ist gegeben.
Für die resultierende Bewegung müssen wir die Komponenten der Geschwindigkeit betrachten, die in der Aufgabenstellung gegeben sind: \(v_x = 14,5 \, \text{m/s}\) und \(v_y = 26,1 \, \text{m/s}\). Jedoch sei darauf hingewiesen, dass \(v_y\) fälschlicherweise mit der Einheit \(m/s^2\) angegeben ist, was eine Beschleunigung implizieren würde. Da es sich vermutlich um einen Tippfehler handelt, gehe ich davon aus, dass die tatsächliche Einheit \(m/s\) sein sollte, da es um eine Geschwindigkeit geht.
Der Luftwiderstand \(F_L\) wirkt entgegen der Bewegung des Springers. Da der Luftwiderstand allerdings normalerweise von der Geschwindigkeit abhängt und hier als konstant gegeben ist, wird ein vereinfachtes Modell angenommen.
Die Endgeschwindigkeit \(v\) des Springers kann durch die vektorielle Addition der Geschwindigkeiten in x- und y-Richtung unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes berechnet werden. Der Luftwiderstand wirkt entgegen der Bewegungsrichtung, allerdings haben wir nicht genug Information, um zu berechnen, wie die Geschwindigkeit im Verlauf des Fluges genau abnimmt.
Angesichts der gegebenen Information und der vereinfachenden Annahme, dass die gegebenen Geschwindigkeiten unmittelbar vor der Landung gelten, können wir die Endgeschwindigkeit durch die Vektoraddition schätzen, ohne den Luftwiderstand zusätzlich in die Berechnung einzubeziehen, da die tatsächliche Dynamik der Geschwindigkeitsreduktion nicht detailliert dargestellt wird.
Die resultierende Endgeschwindigkeit \(v_{end}\) bei der Landung berechnet sich also einfach durch die Pythagoräische Addition der beiden Geschwindigkeiten:
\( v_{end} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \)
Setzen wir die gegebenen Werte ein:
\( v_{end} = \sqrt{(14,5 \, \text{m/s})^2 + (26,1 \, \text{m/s})^2} \)
\( v_{end} = \sqrt{210,25 \, \text{m}^2/\text{s}^2 + 681,21 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \)
\( v_{end} = \sqrt{891,46 \, \text{m}^2/\text{s}^2} \)
\( v_{end} = 29,86 \, \text{m/s} \)
Also, die Endgeschwindigkeit des Springers bei der Landung beträgt ungefähr \(29,86 \, \text{m/s}\).
Überlegung zur Flugweite
Die Flugweite eines Skispringers zu berechnen, erfordert eine detaillierte Analyse der Bewegung unter Einbeziehung des Luftwiderstands. Eine Möglichkeit, dies zu tun, wäre, die Bewegungsgleichungen für die horizontale (x-Richtung) und die vertikale Bewegung (y-Richtung) unter Einbeziehung des Luftwiderstands aufzustellen und zu lösen. Da der Luftwiderstand mit dem Quadrat der Geschwindigkeit zunimmt, würde dies zu einer nichtlinearen Differentialgleichung führen, die möglicherweise numerisch gelöst werden müsste.
Eine praktikable Methode wäre es, eine Simulation der Bewegung durchzuführen, bei der in kleinen Zeitintervallen die Veränderung der Geschwindigkeit und Position unter dem Einfluss von Schwerkraft und Luftwiderstand berechnet wird. Dies könnte beispielsweise mit einer Software zur numerischen Simulation oder mit einem Tabellenkalkulationsprogramm durchgeführt werden, indem iterativ für jedes Zeitintervall die neuen Positionen und Geschwindigkeiten berechnet werden.
Diese Herangehensweise ermöglicht es, die Flugbahn des Springers recht genau zu modellieren und damit die Flugweite zu bestimmen. Diese Methode erfordert allerdings Kenntnisse in numerischer Simulation und den entsprechenden Werkzeugen.
