Kraft auf einen Punktquadrupol berechnen

Question

Aufgabe:

Punktquadropol:

Berechnen Sie die Kraft auf einen Punktquadrupol im beliebigen E-Feld \( \vec{E} \).

Kontinuierliche Darstellung des Quadrupolmoments:

\(Q_{k l}=\int \rho\left(\vec{r}^{\prime}\right)\left(3 r_{k}^{\prime} r_{l}^{\prime}-\left(\vec{r}^{\prime}\right)^{2} \delta_{k l}\right) d^{3} r^{\prime}\)

Diskrete Darstellung des Quadrupolmoments:

\(Q_{k l}=\sum \limits_{i=1}^{n} q_{i}\left(3 r_{i, k} r_{i, l}-\left(\vec{r}_{i}\right)^{2} \delta_{k l}\right)\)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen dabei? Ich weiß nicht so wirklich wie ich anfangen soll um die Kraft auf einen Punktquadrupol zu berechnen.

Ich habe generell etwas Schwierigkeiten darin das Thema zu verstehen. Also ich weiß was das ist und was das Multipolentwicklung ist etc. aber mir fällt es schwer das mathematische umzusetzen.

Denn worauf soll ich mich genau konzentrieren bei den Formeln? Bzw. was ist überhaupt die Formel für die Kraft ?.

Soweit ich weiß wirken keine kräfte auf einen elektrischen Quadrupol. Das bedeutet es müsste eigentlich null ergeben.

Aber wie zeigt man es rechnerisch?

Answer 1

Hallo Lamtheuser. Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, dann soll die Formel

\( F_{i}=\frac{1}{6} Q_{j k} \frac{\partial^{2} E_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{k}} \)

für die Berechnung der Kraft hergeleitet werden. Dies erfolgt in folgenden Schritten: Potenzielle Energie der Ladungsverteilung, Taylorentwicklung des Potentials, Extrahieren des Quadrupolterms aus dem Ergebnis, Ableiten der potentiellen Energie nach dem Ort, das ist dann die Kraft.

Für ein allgemeines elektrisches Feld wirken sehr wohl Kräfte auf den Quadrupol.