maximale Beschleunigung , resultierende Geschwindigkeit, Haftreibungskoeffizient

Question

Das skizzierte Fahrzeug verfügt über einen Hinterradantrieb und bewegt sich unter dem Steigungswinkel a bergaufwärts. Der Punkt S entspricht dem Schwerpunkt des Fahrzeugs, die Grenzreibung zwischen den Reifen und der Oberfläche entspricht dem Haftreibungskoeffizienten µ. Vernachlässigen Sie stets die Rollreibung und den Luftwiderstand.

a) Berechnen Sie die maximal mögliche Beschleunigung und daraus die aus der Ruhe nach 200 m Fahrt resultierende Geschwindigkeit.

b) Bei welcher Beschleunigung verliert die Vorderachse die Bodenhaftung? Welcher Haftreibungskoeffizient wäre hierzu notwendig?

Gegeben:  α = 15°. g =9,81, h = 0,6 m, l1= 2 m, l2= 3 m, µ =0,5

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das berechnen soll, ein Ansatz oder die Formel wäre sehr hilfreich.

Answer 1

diese Kräfte wirken am Fahrzeug:

F_Nv = Normalkraft vorne

F_Nh = Normalkraft hinten

F_T = Trägheitskraft

F_G = Gewichtskraft

F_A = Antriebskraft

es gilt die Beschleunigung a auszurechnen mit \(F_t=m\cdot a\)  und \(\mu=\frac{F_A}{F_{Nh}}\). Zudem müssen die Summe aller Kräfte in x- und y-Richtung 0 sein, sowie die Summe aller Momente um jeden beliebigen Punkt gleich 0. Als Punkt bietet sich hier der Schwerpunkt S an. Zu dem könnte man das Koordinatensystem um 15° drehen.

Comments

Wie kann ich denn die kräfte berechnen, wenn keine masse gegeben ist?

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erst einmal eine Gegenfrage: In welcher Stufe wird das gefragt?

Die Masse kürzt sich am Ende heraus.

Gedreht sieht das so aus:

die Gleichungen sind:

in neuer x-Richtung:

\(F_T=F_G\cdot sin(\alpha)+F_A\) oder aber \(m\cdot a=m\cdot g\cdot sin(\alpha)+F_A\)

in neuer y-Richtung:

\(F_{Nv}+F_{Nh}=F_G\cdot cos(\alpha)\) oder aber \(F_{Nv}+F_{Nh}=m\cdot g\cdot cos(\alpha)\)

Momente um S:

\(F_{Nv}\cdot L_1+F_A\cdot h=F_{Nh}\cdot L_2\)

und für die Reibung:

\(\mu=\frac{F_A}{F_{Nh}}\)

4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, nämlich a, F_Nh, F_Nv und F_A

jetzt die Beschleunigung a ausrechnen und die Geschwindigkeit bestimmen.

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Ich habe alles gegebene eingesetzt, jedoch konnte ich keine gleichung lösen.

Was habe ich falsch gemacht?

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im ersten Block ist ein Fehler: die Masse m kann so nicht wegfallen, richtig ist

\(a=g\cdot sin(\alpha)+\frac{F_A}{m}\)

dann musst du noch die letzen zwei Gleichungen von insgesamt vier einarbeiten.

Die Aufgabe ist sicher sehr anspruchsvoll, z.B. wird die Methode "Freischneiden" aus der Konstruktionslehre angewendet, hier beim Ansetzen der Antriebskraft.

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Das hab ich raus bekommen, aber konnte das m immernoch nicht rauskürzen.

Was habe ich falsch gemacht?

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in der letzten Gleichung kürzt sich die Masse m heraus, wenn du das anstelle des zweiten Bruchstrichs mit \(\frac{1}{m}\) dahinter schreibst, wird es ersichtlich.

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a) konnte ich berechnen, aber bei b) weiß ich nicht wie ich vorgehen soll.

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oh oh, da ist mir ein großer Fauxpas unterlaufen. In der Aufgabe steht bergaufwärts, ich aber habe bergabwärts angenommen. Mit meiner falschen Lesart hast du alles richtig gerechnet, auch ich komme auf μ = 5 für Teil b), das ist praxisfremd. Jetzt steh ich in der Verantwortung, das mit der richtigen Lesart darzustellen, der Abend ist ja noch jung.

Fortsetzung folgt.

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oh, ist dann a) trotzdem richtig ?

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ich frchte nein, gib mir noch ein paar Minuten

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mit der neuen Konstellation ergibt sich für Aufgabe a)

Gl. 1: \(F_A=F_G\cdot sin(\alpha)+F_T\)

Gl. 2: \(F_{Nh}+F_{Nv}=F_G\cdot cos(\alpha)\)

Gl. 3: \(F_A\cdot h+F_{Nv}\cdot L_2=F_{Nh}\cdot L_1\)

Gl. 4: \(F_A=F_{Nh}\cdot \mu\)

Gl. 4 in Gl. 3: \(F_{Nh}\cdot \mu\cdot h+F_{Nv}\cdot L_2=F_{Nh}\cdot L_1\) oder

\(F_{Nv}=F_{Nh}\cdot \frac{L_1-\mu\cdot h}{L_2}\) ; das in Gl. 2 ergibt

\(F_{Nh}=\frac{F_G\cdot cos(\alpha)}{1+\frac{L_1-\mu\cdot h}{L_2}}\) ; das in Gl. 4 ergibt

\(F_{A}=\frac{F_G\cdot cos(\alpha)\cdot \mu}{1+\frac{L_1-\mu\cdot h}{L_2}}\) ; das in Gl. 1 ergibt

\(\frac{F_G\cdot cos(\alpha)\cdot \mu}{1+\frac{L_1-\mu\cdot h}{L_2}}=F_G\cdot sin(\alpha)+F_T\)

\(F_T=F_G\cdot (\frac{cos(\alpha)\cdot \mu}{1+\frac{L_1-\mu\cdot h}{L_2}}-sin(\alpha))\) ; das kann man durch die Masse m teilen

\(a=g\cdot (\frac{cos(\alpha)\cdot \mu}{1+\frac{L_1-\mu\cdot h}{L_2}}-sin(\alpha))\)

\(a=0,485 \frac{m}{s^2}\) für die gegebenen Werte. Das kontolliere ich aber noch einmal.

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für Aufgabe b) gilt:

\(F_A=F_G\cdot sin(\alpha)+F_T\)

\(F_{Nh}=F_G\cdot cos(\alpha)\)

\(F_A\cdot h=F_{Nh}\cdot L_1\)

mit \(F_T=m\cdot a\text{ und }F_G=m\cdot g\)

ich komme auf \(a=29,05\frac{m}{s^2}\text{ und }\mu= 3,33\)

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Ich habe das gleiche Ergebnis, danke.

Ich hätte noch ein Frage zu sin und cos. Hast du sin für Gl 1 benutzt weil die kräfte in y Richtung wirken und in Gl 2 in x Richtung?

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ja genau, F_G muss man zerlegen damit sie in x- und y-Richtung wirkt.

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Ist nicht die vertikale Kraft der Sinus und müsste daher mit dem Sinus berechnet werden, während die horizontale Kraft der Kosinus ist? Warum ist es umgekehrt in diesem Fall? Liegt es an der schiefen Ebene?

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die Kraft senkrecht zur schiefen Ebene wird mit dem Kosinus berechnet, siehe Graphik.

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Wäre das keine schiefe ebene, wäre dann die senkrechte kraft mit sinus berechnet worden oder hab ich das falsch verstanden?

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da liegt ein Verständnisproblem vor. Wenn α immer kleiner wird, also keine schiefe Ebene mehr vorliegt, dann nähert sich der Winkel 0 und cos (α) nähert sich 1.