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Einführung
Um die Anzahl der Umdrehungen pro Minute (RPM) zu bestimmen, bei der eine Scheibe aus einem bestimmten Material durch das auf sie wirkende Eigengewicht zerfällt, müssen wir uns mit den Spannungen befassen, die in der Scheibe unter der Wirkung von Zentrifugalkräften entstehen. Die kritischen Spannungen, die ein Material aushalten kann, bevor es versagt, sind für Aluminium, Glas und Stahl unterschiedlich.
Grundlagen zur Berechnung
Die Zentrifugalspannung \(\sigma\) in einer rotierenden Scheibe lässt sich mit der Formel
\(
\sigma = \rho \cdot \omega^2 \cdot r^2
\)
berechnen, wobei
- \(\rho\) die Dichte des Materials ist (kg/m³),
- \(\omega\) die Winkelgeschwindigkeit in rad/s,
- \(r\) der Radius an dem Punkt der Scheibe in Metern ist, an dem die Spannung berechnet wird.
Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) kann aus der Drehzahl \(n\) (in RPM) durch die Gleichung
\(
\omega = \frac{2 \pi n}{60}
\)
umgerechnet werden. Um die Rechnungen zu vereinfachen, setzen wir zuerst \(r\) als Radius des äußersten Randes der Scheibe, also \(0.2\,m / 2 = 0.1\,m \).
Materialspezifikationen
Die kritische Spannung, bei der das Material zu zerfallen beginnt, variiert je nach Materialtyp. Lassen Sie uns diese Spannung als \(\sigma_{krit}\) definieren. Zu beachten ist, dass die genauen Werte für \(\sigma_{krit}\) von der Qualität des Materials, seiner Vorbehandlung und vielen anderen Faktoren abhängen können, daher dienen die hier genannten Werte nur als allgemeine Richtlinien:
- Aluminium: \(\sigma_{krit} \approx 400 - 600 \, \text{MPa}\)
- Glas: \(\sigma_{krit} \approx 50 - 100 \, \text{MPa}\)
- Stahl: \(\sigma_{krit} \approx 600 - 850 \, \text{MPa}\)
Zum Verständnis verwenden wir als Beispiel Aluminium mit \(\sigma_{krit} = 500 \, \text{MPa}\) und \(\rho = 2700 \, \text{kg/m}^3\).
Berechnung
1.
Umstellung der Formel zur Berechnung von \(n\):
Aus \(\sigma = \rho \cdot \omega^2 \cdot r^2\) und \(\omega = \frac{2 \pi n}{60}\) ersetzen wir \(\omega\) in der ersten Formel und lösen nach \(n\) auf:
\(
n = \frac{60}{2\pi} \sqrt{\frac{\sigma}{\rho \cdot r^2}}
\)
2.
Einsetzen der Werte für Aluminium:
Mit \(\rho = 2700 \, \text{kg/m}^3\), \(\sigma = 500 \times 10^6 \, \text{Pa}\), und \(r = 0.1\,m\),
\(
n = \frac{60}{2\pi} \sqrt{\frac{500 \times 10^6}{2700 \cdot (0.1)^2}} \approx \frac{60}{2\pi} \sqrt{\frac{500 \times 10^6}{27}} \approx \frac{60}{2\pi} \sqrt{18518518.52}
\)
\(
\approx \frac{60}{2\pi} \cdot 4303.4 \approx 41034.3 \, \text{RPM}
\)
Das bedeutet, dass unter Annahme der vereinfachten Annahmen und Werte eine Aluminiumscheibe mit einem Durchmesser von 20cm und einer Dicke von 5mm bei etwa 41034 RPM anfingen würde, sich aufgrund der entwickelten Zentrifugalspannungen zu zersetzen.
Schlussfolgerung
Es ist wichtig zu erwähnen, dass die berechnete RPM stark von den angenommenen kritischen Spannungswerten abhängt, und in der Praxis könnten Imperfektionen in der Materialstruktur und der Aufbau der Scheibe (z.B. Einschlüsse oder Oberflächenbeschaffenheit) zu einem früheren Versagen führen. Materialausdehnung unter der Wirkung von Zentrifugalkräften und Temperatur wurde in dieser Berechnung nicht berücksichtigt, würde aber in einer genaueren Analyse die kritische RPM weiter beeinflussen.
Zum Abschluss muss betont werden, dass diese Berechnung eine vereinfachte Annäherung darstellt und für eine präzisere Vorhersage des Zerfallsverhaltens einer Scheibe unter Zentrifugalkraft eine detaillierte mechanische und materialwissenschaftliche Analyse erforderlich wäre.
