Um welchen Betrag nimmt die innere Energie des Stickstoffs zu bei konstantem Volumen?

Question

Aufgabe:

Die Temperaturabhängigkeit der molaren Wärmekapazität ~Cp von Stickstoff (N2) lässt sich
durch ˜Cp = (27.27 + 5.22 × 10−3 T/K − 0.004 20 × 10−6 T2/K2) J mol−1 K−1 darstellen. Berech-
nen Sie, um welchen Betrag die molare innere Energie des Stickstoffs zunimmt, wenn seine
Temperatur bei konstantem Volumen von 273 K auf 1273 K erhöht wird. Welche Wärmemenge
muss dem Gas dabei zugeführt werden?

Problem/Ansatz: Ich konnte cv=cp-R rechnen, mit allem was danach kommt bin ich leider überfragt. Ich weiß, ich muss das als Integral von cv dT berechnen, weiß aber nicht die genaue Rechenformel, wie das also ausgeschrieben wird und damit gerechnet wird.

Answer 1

Grüße chemweazle,

Zu

Um welchen Betrag nimmt die innere Energie des Stickstoffs zu bei konstantem Volumen?

Aufgabe:

Die Temperaturabhängigkeit der molaren Wärmekapazität ~Cp von Stickstoff (N₂) lässt sich durch ˜Cp = (27.27 + 5.22 × 10⁻³ T/K − 0.004 20 × 10⁻⁶ T²/K²) J mol⁻¹ K⁻¹ darstellen.

Berechnen Sie, um welchen Betrag die molare innere Energie des Stickstoffs zunimmt, wenn seine Temperatur bei konstantem Volumen von 273 K auf 1273 K erhöht wird.

Welche Wärmemenge muss dem Gas dabei zugeführt werden?

T_{2} = 1273\cdot K
T_{1} = 273\cdot K


dH = n * Cp * dT

dH = dU + pdV = dU + nR * dT

dU = dH – nR * dT

dU = n * Cp * dT – nR* dT

Die Änderung der Molaren Inneren Energie

dUm = Cp * dT – R * dT

dUm = ( Cp – R ) * dT

$$R = \frac{8,314\cdot J}{K\cdot mol}$$

$$dUm = ( 27,27 – 8,314 )\cdot \frac{J}{K\cdot mol}\cdot dT + 5,22\cdot 10^{-3}\cdot \frac{J}{K^{2}\cdot mol}\cdot T\cdot dT + 0,00420\cdot 10^{-6}\cdot \frac{J}{K^{3}\cdot mol}\cdot T^{2}\cdot dT$$

$$U_{2} - U_{1} = \Delta Um = Um(T_{2}) - Um(T_{1})$$

$$\Delta Um = \int\limits _{T_{1}}^{T_{2}} dUm$$

$$\Delta Um = ( 27,27 – 8,314 )\cdot \frac{J}{K\cdot mol}\cdot \red{\int\limits _{T_{1}}^{T_{2}} dT} + 5,22\cdot 10^{-3}\cdot \frac{J}{K^{2}\cdot mol}\cdot \red{\int\limits _{T_{1}}^{T_{2}} T\cdot dT} + 0,00420\cdot 10^{-6}\cdot \frac{J}{K^{3}\cdot mol}\cdot \red{\int\limits _{T_{1}}^{T_{2}} T^{2}\cdot dT}$$


$$\Delta Um = ( 27,27 – 8,314 )\cdot \frac{J}{K\cdot mol}\cdot \red{[ T_{2} – T_{1} ]\cdot K} + 5,22\cdot 10^{-3}\cdot \frac{J}{K^{2}\cdot mol}\cdot \red{[ \dfrac{T_{2}^{2} – T_{1}^{2}}{2} ]\cdot K^{2}} + 0,00420\cdot 10^{-6}\cdot \frac{J}{K^{3}\cdot mol}\cdot \red{[ \dfrac{T_{2}^{3} – T_{1}^{3}}{3} ]\cdot K^{3}}$$

Mit

$$\red{[ T_{2} – T_{1} ]\cdot K} = 1000\cdot K$$

$$\red{[ \dfrac{T_{2}^{2} – T_{1}^{2}]}{2} \cdot K^{2} \approx 773\cdot K^{2}}$$

$$\approx \dfrac{1273^{2}\cdot K^{2}}{2} - \dfrac{273^{2}\cdot K^{2}}{2}$$

$$\red{[\dfrac{T_{2}^{3} – T_{1}^{3}]}{3}\cdot K^{3}}$$

$$\approx \dfrac{(1273^{3} – 273^{3} )}{3}\cdot K^{3} \approx 680.862.333,3333\cdot K^{3} = 6,80862333,3333\cdot 10^{8}\cdot K^{3}$$

$$\Delta Um = [ 18, 956\cdot \frac{J}{K\cdot mol}\cdot 1000\cdot K ] + [ 5,22\cdot 10^{-3}\cdot \frac{J}{K^{2}\cdot mol}\cdot 773\cdot K^{2} ] + [ 4,20\cdot 10^{-9}\cdot \frac{J}{K^{3}\cdot mol}\cdot 6,808623333333\cdot 10^{8}\cdot K^{3} ]$$

$$\Delta Um = [ 18.956 + 4,0351 + 2,8596 ]\frac{J}{mol} \approx 18.962, 895\cdot \frac{J}{mol}$$

$$\Delta Um\approx 18,963\cdot \frac{KJ}{mol}$$