Grüße chemweazle,
Zu
Um welchen Betrag nimmt die innere Energie des Stickstoffs zu bei konstantem Volumen?
Aufgabe:
Die Temperaturabhängigkeit der molaren Wärmekapazität ~Cp von Stickstoff (N2) lässt sich durch ˜Cp = (27.27 + 5.22 × 10−3 T/K − 0.004 20 × 10−6 T2/K2) J mol−1 K−1 darstellen.
Berechnen Sie, um welchen Betrag die molare innere Energie des Stickstoffs zunimmt, wenn seine Temperatur bei konstantem Volumen von 273 K auf 1273 K erhöht wird.
Welche Wärmemenge muss dem Gas dabei zugeführt werden?
T_{2} = 1273\cdot K
T_{1} = 273\cdot K
dH = n * Cp * dT
dH = dU + pdV = dU + nR * dT
dU = dH – nR * dT
dU = n * Cp * dT – nR* dT
Die Änderung der Molaren Inneren Energie
dUm = Cp * dT – R * dT
dUm = ( Cp – R ) * dT
$$R = \frac{8,314\cdot J}{K\cdot mol}$$
$$dUm = ( 27,27 – 8,314 )\cdot \frac{J}{K\cdot mol}\cdot dT + 5,22\cdot 10^{-3}\cdot \frac{J}{K^{2}\cdot mol}\cdot T\cdot dT + 0,00420\cdot 10^{-6}\cdot \frac{J}{K^{3}\cdot mol}\cdot T^{2}\cdot dT$$
$$U_{2} - U_{1} = \Delta Um = Um(T_{2}) - Um(T_{1})$$
$$\Delta Um = \int\limits _{T_{1}}^{T_{2}} dUm$$
$$\Delta Um = ( 27,27 – 8,314 )\cdot \frac{J}{K\cdot mol}\cdot \red{\int\limits _{T_{1}}^{T_{2}} dT} + 5,22\cdot 10^{-3}\cdot \frac{J}{K^{2}\cdot mol}\cdot \red{\int\limits _{T_{1}}^{T_{2}} T\cdot dT} + 0,00420\cdot 10^{-6}\cdot \frac{J}{K^{3}\cdot mol}\cdot \red{\int\limits _{T_{1}}^{T_{2}} T^{2}\cdot dT}$$
$$\Delta Um = ( 27,27 – 8,314 )\cdot \frac{J}{K\cdot mol}\cdot \red{[ T_{2} – T_{1} ]\cdot K} + 5,22\cdot 10^{-3}\cdot \frac{J}{K^{2}\cdot mol}\cdot \red{[ \dfrac{T_{2}^{2} – T_{1}^{2}}{2} ]\cdot K^{2}} + 0,00420\cdot 10^{-6}\cdot \frac{J}{K^{3}\cdot mol}\cdot \red{[ \dfrac{T_{2}^{3} – T_{1}^{3}}{3} ]\cdot K^{3}}$$
Mit
$$\red{[ T_{2} – T_{1} ]\cdot K} = 1000\cdot K$$
$$\red{[ \dfrac{T_{2}^{2} – T_{1}^{2}]}{2} \cdot K^{2} \approx 773\cdot K^{2}}$$
$$\approx \dfrac{1273^{2}\cdot K^{2}}{2} - \dfrac{273^{2}\cdot K^{2}}{2}$$
$$\red{[\dfrac{T_{2}^{3} – T_{1}^{3}]}{3}\cdot K^{3}}$$
$$\approx \dfrac{(1273^{3} – 273^{3} )}{3}\cdot K^{3} \approx 680.862.333,3333\cdot K^{3} = 6,80862333,3333\cdot 10^{8}\cdot K^{3}$$
$$\Delta Um = [ 18, 956\cdot \frac{J}{K\cdot mol}\cdot 1000\cdot K ] + [ 5,22\cdot 10^{-3}\cdot \frac{J}{K^{2}\cdot mol}\cdot 773\cdot K^{2} ] + [ 4,20\cdot 10^{-9}\cdot \frac{J}{K^{3}\cdot mol}\cdot 6,808623333333\cdot 10^{8}\cdot K^{3} ]$$
$$\Delta Um = [ 18.956 + 4,0351 + 2,8596 ]\frac{J}{mol} \approx 18.962, 895\cdot \frac{J}{mol}$$
$$\Delta Um\approx 18,963\cdot \frac{KJ}{mol}$$
