Aufgabe:
Betrachten Sie eine Halbkugel mit dem Radius R. Ihre Dichte ρ(!r) ist (in Kugelkoordinaten)
gegeben als
$$ρ(r) = \frac{5M r^2}{2\pi R^5}$$
(a) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass die Masse der Halbkugel M ist.
(b) (4 Punkte) Bestimmen Sie die Lage des Schwerpunkts !rS =
(xS, yS, zS) der Halbkugel.
(c) (4 Punkte) Bestimmen Sie das Trägheitsmoment der Halbkugel I bezüglich der z-Achse.
Problem/Ansatz
Kann wer über meine Notizen sehen ? Ich denke eig, dass diese ziemlich gut sind bis auf das Trägheitsmoment, ich hab keine Anhaltspunkte zu überprüfen ob dies korrekt ist.
Vielen Dank. :)
Text erkannt:
A41 Sehwerpumbt und Trägheits moment
\( \rho(r)=\frac{5 M}{2 \pi R^{5}} r^{2} \)
a).
\( \rho(r) \int \limits_{V} r^{2} \sin \theta r^{2} d V \)
\( \rho(r) \int \limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \int \limits_{0}^{k} r^{u} d r \)
\( g(\pi) 2 \pi \).
\( \begin{array}{l} \underbrace{[-\omega]_{0}^{\pi / 2}}_{1} \cdot\left[\frac{1}{5} \pi^{5}\right]_{0}^{R} \\ e^{5} R^{5}=M \frac{1}{5} R^{5} \end{array} \)
b) Soluvepunt
\( \begin{array}{l} X_{s}=\frac{1}{V} \int \limits_{V} \frac{M}{V} d V \Rightarrow \frac{1}{V} \int \limits_{V} r^{2} \sin \theta \cdot x d V \Rightarrow \frac{1}{V} \int \limits_{V} r^{3} \sin ^{2} \theta \cos \varphi d V \\ \frac{1}{V} \int \limits_{0}^{2 \pi} \cos \int \limits_{0}^{\pi / 2} \sin ^{2} \theta d \theta \int \limits_{0}^{R} r^{3} d r=\frac{1}{V}[\sin \varphi]_{0}^{2 \pi} \ldots \\ y_{s}=\frac{1}{V} \int \limits_{0}^{2 \pi} \sin \varphi x \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} \theta d \theta \int \limits_{0}^{e} r^{3} d r \\ 4 \text { beide Grensen gubon } 0 \\ \text { ergo } x_{S}=0 \\ =\frac{1}{V}[-\cos \varphi]_{0}^{2 \pi} \ldots{ }^{0} \frac{\Lambda}{v}[-1-(-1)] \cdots y_{s}=0 \\ \left.z_{s}=\frac{1}{V} \int \limits_{0}^{2 \pi} d \varphi \int \limits_{0}^{e^{4}} r^{3} d r \int \limits_{0}^{\pi_{2}} \sin \theta \cos \theta d \theta \right\rvert\, \int \limits_{0}^{\pi_{2}} \sin \theta \cos \theta d \theta \\ x=\sin \theta \\ \frac{d x}{d \theta}=\cos \theta \\ =\int \limits_{0}^{1} x \cos \frac{d x}{\cos \theta} \\ \frac{d x}{\cos \theta}=d \theta \\ z_{3}=\frac{1}{V} 2 \pi \frac{R^{4}}{4} \cdot \frac{1}{2} \\ =\left[\frac{1}{2} x^{2}\right]_{0}^{1} \\ \end{array} \)
substihiere
Text erkannt:
Volumen cines tealblugl bestimen
\( \left.\frac{1}{2} \int \limits_{V} d V \right\rvert\, r^{2} \sin \theta \)
C) I beringlich 2-Achese
\( \begin{array}{l} =-\int \limits_{V} r^{2} \sin \theta\left(r^{2} \cos ^{2} \varphi \sin ^{2} \theta+r^{2} \sin ^{2} \varphi \sin ^{2} \theta\right) d r \\ \mid \sin ^{2} \theta \text { anshe. } \\ 1 r^{2} \text { auskl. } \\ \Rightarrow g \int r^{4} \sin ^{3} \theta d V \\ \text { ladditionth. } \\ \text { ansenelu. } \\ \rho(r) \int \limits_{0}^{v} d \int \limits_{-}^{r} \int \limits_{0}^{r} r^{4} d r \int \limits_{0}^{r_{2}} \sin ^{3} \theta d \theta \\ \text { Subgtituiere } x=\cos \theta \\ \rho(r) 2 \pi\left[\frac{e^{5}}{5}\right] \int \limits_{1}^{0}-\sin ^{2} \theta \frac{d x}{\sin \theta} \\ \frac{d x}{d \theta}=-\sin \theta \\ \frac{-d x}{\sin \theta}=d \theta \\ \frac{8 \pi r^{2}}{2 \pi x^{5}} \frac{2 \pi \cdot 2 \pi}{8} \cdot 3 \\ =\frac{2 M r^{2}}{3} \\ \Rightarrow-\int \limits_{1}^{0} \sin ^{2} \theta d x \quad \left\lvert\, \begin{array}{l} \sin \theta \\ \text { the eorem } \end{array}\right. \\ \begin{array}{l} \text { the eorem } \\ \text { avwerden } \end{array} \\ =-\int \limits_{1}^{0}\left(1-\cos ^{2} \theta\right) d x \quad \mid \cos ^{2} \theta=x^{2} \\ -\left[x-\frac{1}{3} x^{3}\right]_{1}^{0}=-\left(-\left(1-\frac{1}{3}\right)=-\left(-\frac{2}{3}\right)\right. \\ =\frac{2}{3} \\ \end{array} \)
