Hallo,
Die Kräftesummen in den drei Richtungen sind korrekt. Weiter schreibst Du
$$-\frac12 \sqrt{2} S_1 - \frac12\sqrt{2} S_2 - \frac12 \sqrt{2} S_3= 0$$ das kann schon deshalb nicht richtig sein, weil \(S_2\) und \(S_3\) unter unterschiedlichen Winkeln zur X-Richtung am Punkt \(D\) ansetzen - also müssten die Faktoren unterschiedlich groß sein. Aus dem Stabwerk ergeben sich folgende Verhältnisse:
$$\begin{aligned}S_{2x} \div S_{2y} &= 1 \div 2 \quad &\Rightarrow S_{2x} = \frac15\sqrt{5} S_2\\ S_{3x} \div S_{3y} &= 1 \div 1 &\Rightarrow S_{3x} = \frac12 \sqrt{2} S_3 \\ S_{1x} \div S_{1z} &= 1 \div 2 &\Rightarrow S_{1x} = \frac15\sqrt{5} S_1 \end{aligned}$$
Aber diese Berechnung rechts ist gar nicht nötig! Besser man rechnet mit den Komponenten. Aus der letzten Gleichung folgt
$$S_{1z} = -\underline{F} = -2F$$
und aus dem Verhältnis \(S_{1x}=\frac12 S_{1z}\) folgt
$$S_{1x} = -F$$und damit ist \(S_1=\sqrt{5}F\) und zeigt in die negative als die angenommen Richtung, da seine Komponenten negatives Vorzeichen haben, ist also ein Druckstab. Aus dem Kräftegleichgewicht in X- und Y-Richtung folgt (\(S_{1x} = -F\) habe ich eingesetzt)
$$F - S_{2x} -S_{3x} = 0 $$ $$S_{2y} = S_{3y}$$ Zusammen mit den Verhältnissen \(S_{2y} = 2 S_{2x}\) und \(S_{3y} = S_{3x}\) gibt das
$$2 S_{2x} = S_{3x}$$
einsetzen in die erste Gleichung
$$F - S_{2x} -2 S_{2x} = 0 \quad \Rightarrow S_{2x} = \frac13 F$$
Mit \(S_{2y} = 2 S_{2x}\) wird \(S_2=\frac{1}{3} \sqrt{5} F\). Und \(S_3\) kannst Du nun bestimmt selbst ausrechnen - zur Kontrolle: \(S_3=\frac23\sqrt{2}F\).
Gruß Werner
