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Berechnung der mittleren Geschwindigkeit von Stickstoff und Luft
Für die Berechnung der mittleren Geschwindigkeit \( \bar{v} \), gilt die Formel:
\(
\bar{v}=\sqrt{\frac{8 R T}{\pi M}}
\)
wobei \( R \) die universelle Gaskonstante ist, \( T \) die Temperatur in Kelvin, und \( M \) die molare Masse in Kilogramm pro Mol (\(\frac{kg}{mol}\)). Die gegebene Gaskonstante \( R = 8,314472 \frac{J}{mol \cdot K} \) muss allerdings in entsprechend konsistenten Einheiten verwendet werden, und die molare Masse muss ebenfalls von Gramm pro Mol in Kilogramm pro Mol umgerechnet werden.
Für Stickstoff:
Molare Masse \( M = 28 \frac{g}{mol} = 0,028 \frac{kg}{mol} \)
Die mittlere Geschwindigkeit von Stickstoff bei \( 300 K \) ist also:
\(
\bar{v}=\sqrt{\frac{8 \cdot 8,314472 \, \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 300 K}{\pi \cdot 0,028 \, \frac{kg}{mol}}}
\)
\( \bar{v} = \sqrt{\frac{8 \cdot 8,314472 \cdot 300}{\pi \cdot 0,028}} \)
\( \bar{v} \approx \sqrt{\frac{19954,73344}{0,087964}} \)
\( \bar{v} \approx \sqrt{226893,0514} \)
\( \bar{v} \approx 476,33 \, m/s \)
Für Luft:
Molare Masse \( M = 29 \frac{g}{mol} = 0,029 \frac{kg}{mol} \)
Die mittlere Geschwindigkeit von Luft bei \( 300 K \) ist:
\(
\bar{v}=\sqrt{\frac{8 \cdot 8,314472 \, \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 300 K}{\pi \cdot 0,029 \, \frac{kg}{mol}}}
\)
\( \bar{v} = \sqrt{\frac{8 \cdot 8,314472 \cdot 300}{\pi \cdot 0,029}} \)
\( \bar{v} \approx \sqrt{\frac{19954,73344}{0,091396}} \)
\( \bar{v} \approx \sqrt{218312,9815} \)
\( \bar{v} \approx 467,45 \, m/s \)
Teilchendichte eines Gases bei 1 bar und 300 K
Die Teilchendichte \( n \) kann aus der idealen Gasgleichung bestimmt werden:
\(
pV = nRT
\)
Wobei \( n \) die Teilchenmenge in Mol ist, \( R \) die Gaskonstante, \( T \) die Temperatur in Kelvin und \( p \) der Druck in Pascal. Beachten Sie, dass 1 bar \( = 10^5 \, Pa \) ist.
Um zur Teilchendichte zu gelangen, formen wir die Gleichung um, um \( n/V \) (Teilchen pro Volumeneinheit) zu bekommen:
\(
\frac{n}{V} = \frac{p}{RT}
\)
Einsetzen der gegebenen Werte (\( p = 10^5 \, Pa, T = 300 \, K \)):
\(
\frac{n}{V} = \frac{10^5 \, Pa}{8,314472 \, J/mol \cdot K \cdot 300 \, K}
\)
\(
\frac{n}{V} \approx \frac{10^5}{2494,3416}
\)
\(
\frac{n}{V} \approx 40,08 \, mol/m^3
\)
Dies ist die Anzahl der Mole pro Kubikmeter unter den gegebenen Bedingungen.
Volumen eines Gases bei gegebenem Druck und erhöhter Temperatur
Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur bei konstantem Druck und konstanter Stoffmenge beschreibt das Gay-Lussac-Gesetz:
\(
\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}
\)
Wobei:
- \( V_1 \) = Anfangsvolumen = \( 22,4138 \, l = 22,4138 \cdot 10^{-3} \, m^3 \) (Umrechnung von Litern in Kubikmeter)
- \( T_1 \) = Anfangstemperatur = 273,15 K
- \( V_2 \) = Gesuchtes Volumen bei \( T_2 \) = 750 K
Wir lösen die Gleichung nach \( V_2 \) auf:
\(
V_2 = V_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}
\)
\(
V_2 = 22,4138 \cdot 10^{-3} \, m^3 \cdot \frac{750 K}{273,15 K}
\)
\(
V_2 \approx 0,0224138 \cdot \frac{750}{273,15}
\)
\(
V_2 \approx 0,061596 \, m^3
\)
\(
V_2 \approx 61,596 \, l
\)
Das heißt, unter gegebenen Bedingungen und einer Temperatur von \( 750 K \) beträgt das Volumen des Gases etwa \( 61,596 Liter \). Und nein, es spielt dabei keine Rolle, um welches Gas es sich handelt, solange es als ideales Gas angesehen werden kann.
