Aufgaben zu Wärmelehre, Teilchengeschwindigkeit, Teilchendichte

Question

Aufgabe:

1. Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit von Stickstoff ( $M=$ $\left.28 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{Mol}}\right)$ und von Luft $\left(M=29 \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{Mol}}\right)$ bei $300 \mathrm{~K}$.

2. Welche Teilchendichte hat ein Gas bei 1 bar und 300 K?

3. Ein mol eines Gases hat bei $273,15 \mathrm{~K}$ und 1013,25 mbar Druck ein Volumen von 22,4138 I. Welches Volumen hat dieses Gas bei gleichem Druck und $750 \mathrm{~K}$ ? Spielt es dabei eine Rolle, um welches Gas es sich handelt?

Mein Ansatz:

(1) mittlere Geschwindigkeit:

$\begin{array}{l} \bar{v}=\sqrt{\frac{8 R T}{\pi M}} \quad \text { Sticustoff: } \bar{v}=\sqrt{\frac{8 \cdot 8,311472 \frac{3}{m a \cdot K} \cdot 300 \mathrm{~K}}{\pi \cdot 28 \frac{2}{M a l}}} \\ \bar{v}=15,06 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\ \text { Luft: } \bar{v}=\sqrt{\frac{8 \cdot 8,314472 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m} 0 \mathrm{a}} \cdot \mathrm{K} \cdot 300 \mathrm{k}}{\pi \cdot 28 \frac{9}{\mathrm{~mol}}}} \\ \bar{v}=14,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \\ \end{array}$
(2) $p V=N K T$

Comments

Ja, das ist dir richtige Formel, zumindest für ein ideales Gas.

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mickymaus, deine Ergebnisse zu Aufgabe 1 passen leider nicht.

Damit die Zieleinheit m/s überhaupt erreicht wird, solltest du die molaren Massen (M) zunächst von g/mol in kg/mol umwandeln.

Bedenke, dass J/kg =  m²/s²

Um unnötige Schreibarbeit zu vermeiden ... konntest du mittlerweile selbst die Aufgaben 2 und 3 lösen oder benötigst du weiterhin Hilfe ?

Dann bitte kurz Bescheid geben.

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Erstaunlich ... keinerlei Reaktion von dir, stattdessen eine Menge neuer Aufgaben ...

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Berechnung der mittleren Geschwindigkeit von Stickstoff und Luft

Für die Berechnung der mittleren Geschwindigkeit $\bar{v}$, gilt die Formel:
$\bar{v}=\sqrt{\frac{8 R T}{\pi M}}$
wobei $R$ die universelle Gaskonstante ist, $T$ die Temperatur in Kelvin, und $M$ die molare Masse in Kilogramm pro Mol ($\frac{kg}{mol}$). Die gegebene Gaskonstante $R = 8,314472 \frac{J}{mol \cdot K}$ muss allerdings in entsprechend konsistenten Einheiten verwendet werden, und die molare Masse muss ebenfalls von Gramm pro Mol in Kilogramm pro Mol umgerechnet werden.

Für Stickstoff:

Molare Masse $M = 28 \frac{g}{mol} = 0,028 \frac{kg}{mol}$

Die mittlere Geschwindigkeit von Stickstoff bei $300 K$ ist also:
$\bar{v}=\sqrt{\frac{8 \cdot 8,314472 \, \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 300 K}{\pi \cdot 0,028 \, \frac{kg}{mol}}}$
$\bar{v} = \sqrt{\frac{8 \cdot 8,314472 \cdot 300}{\pi \cdot 0,028}}$

$\bar{v} \approx \sqrt{\frac{19954,73344}{0,087964}}$

$\bar{v} \approx \sqrt{226893,0514}$

$\bar{v} \approx 476,33 \, m/s$

Für Luft:

Molare Masse $M = 29 \frac{g}{mol} = 0,029 \frac{kg}{mol}$

Die mittlere Geschwindigkeit von Luft bei $300 K$ ist:
$\bar{v}=\sqrt{\frac{8 \cdot 8,314472 \, \frac{J}{mol \cdot K} \cdot 300 K}{\pi \cdot 0,029 \, \frac{kg}{mol}}}$
$\bar{v} = \sqrt{\frac{8 \cdot 8,314472 \cdot 300}{\pi \cdot 0,029}}$

$\bar{v} \approx \sqrt{\frac{19954,73344}{0,091396}}$

$\bar{v} \approx \sqrt{218312,9815}$

$\bar{v} \approx 467,45 \, m/s$

Teilchendichte eines Gases bei 1 bar und 300 K

Die Teilchendichte $n$ kann aus der idealen Gasgleichung bestimmt werden:
$pV = nRT$
Wobei $n$ die Teilchenmenge in Mol ist, $R$ die Gaskonstante, $T$ die Temperatur in Kelvin und $p$ der Druck in Pascal. Beachten Sie, dass 1 bar $= 10^5 \, Pa$ ist.

Um zur Teilchendichte zu gelangen, formen wir die Gleichung um, um $n/V$ (Teilchen pro Volumeneinheit) zu bekommen:
$\frac{n}{V} = \frac{p}{RT}$
Einsetzen der gegebenen Werte ($p = 10^5 \, Pa, T = 300 \, K$):
$\frac{n}{V} = \frac{10^5 \, Pa}{8,314472 \, J/mol \cdot K \cdot 300 \, K}$
$\frac{n}{V} \approx \frac{10^5}{2494,3416}$
$\frac{n}{V} \approx 40,08 \, mol/m^3$
Dies ist die Anzahl der Mole pro Kubikmeter unter den gegebenen Bedingungen.

Volumen eines Gases bei gegebenem Druck und erhöhter Temperatur

Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur bei konstantem Druck und konstanter Stoffmenge beschreibt das Gay-Lussac-Gesetz:
$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$
Wobei:
- $V_1$ = Anfangsvolumen = $22,4138 \, l = 22,4138 \cdot 10^{-3} \, m^3$ (Umrechnung von Litern in Kubikmeter)
- $T_1$ = Anfangstemperatur = 273,15 K
- $V_2$ = Gesuchtes Volumen bei $T_2$ = 750 K

Wir lösen die Gleichung nach $V_2$ auf:
$V_2 = V_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}$
$V_2 = 22,4138 \cdot 10^{-3} \, m^3 \cdot \frac{750 K}{273,15 K}$
$V_2 \approx 0,0224138 \cdot \frac{750}{273,15}$
$V_2 \approx 0,061596 \, m^3$
$V_2 \approx 61,596 \, l$
Das heißt, unter gegebenen Bedingungen und einer Temperatur von $750 K$ beträgt das Volumen des Gases etwa $61,596 Liter$. Und nein, es spielt dabei keine Rolle, um welches Gas es sich handelt, solange es als ideales Gas angesehen werden kann.