Vektorielle Beschreibung Kreisbewegung

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

1.
\( \begin{array}{l} \vec{r}(t)=v_{0} \cdot t\left(\begin{array}{c} \cos (\omega t) \\ \sin (\omega t) \end{array}\right) \\ \vec{v}(t)=\dot{\vec{r}}=v_{0} \cdot t\left(\begin{array}{c} -\omega \cdot \sin (\omega t) \\ \omega \cdot \cos (\omega t) \end{array}\right) \\ \vec{v}(1)=9,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \cdot 1 \mathrm{~s}\left(\begin{array}{c} -7,4 \frac{1}{5} \cdot \sin \left(7,4 \frac{1}{5} \cdot 1,1\right) \\ 7,4 \frac{1}{5} \cdot \cos \left(7,4 \frac{1}{5} \cdot 1 \cdot\right) \end{array}\right) \\ |\vec{v}(1)|=\sqrt{\left(9,3 \cdot(-7,4 \cdot \sin (7,4))^{2}+\left(9,3 \cdot(7,4 \cdot \cos (7,4))^{2}\right.\right.} \\ =68,82 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \text { 2. } \vec{a}=\dot{\vec{v}}=v_{0} t\left(\begin{array}{c} -\omega^{2} \cdot \cos (\omega t) \\ -\omega^{2} \cdot \sin (\omega t) \end{array}\right) \\ |\vec{a}(1)|=\sqrt{\left(9,3 \cdot\left((-7,4)^{2} \cdot \cos (7,4)\right)\right)^{2}+\left(9,3 \cdot\left((-7,4)^{2} \cdot \sin (7,4)\right)\right)^{2}} \\ =509,27 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} \\ \end{array} \)

Meint ihr meine Lösungen sind ansatzweise richtig?

Comments

Da \(t\) auch vor dem Vektor steht, musst du mit der Produktregel differenzieren.

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Also dann so?

Text erkannt:

\( -v(\omega t \sin (\omega t)-\cos (\omega t)) \)
\( v(\sin (\omega t)+\omega t \cos (\omega t)) \)
\( \begin{aligned} |\vec{v}(1)| & =\sqrt{(-9,3 \cdot(7,4 \cdot \sin (7,4)-\cos (7,4)))^{2}+(9,3(\sin (7,4)+7,4 \cos (7,4)))^{2}} \\ & =69,45 \mathrm{mrs} \end{aligned} \)
\( \begin{array}{l} -v \omega(2 \sin (\omega t)+\omega t \cos (\omega t)) \\ -v \omega(\omega t \sin (\omega t)-2 \cos (\omega t)) \end{array} \)
\( \begin{aligned} |\vec{a}(1)| & =\sqrt{(-9,3 \cdot 7,4 \cdot(2 \sin (7,4)+7,4 \cdot \cos (7,4)))^{2}+(-9,3 \cdot 7,4(7,4 \sin (7,4)-2 \cos (7,4)))^{2}} \\ & =527,54 \mathrm{m/s^{2 }} \end{aligned} \)

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Also dann so?

Text erkannt:

1. geg: \( v_{0}=9,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \)
\( \begin{aligned} \omega & =7,4 \frac{1}{5} \\ \vec{r}(t) & =v_{0} \cdot t\left(\begin{array}{c} \cos (\omega t) \\ \sin (\omega t) \end{array}\right) \\ \vec{v}(t) & =\dot{\vec{r}}=\left(\begin{array}{l} -v(\omega t \sin (\omega t)-\cos (\omega t)) \\ v(\sin (\omega t)+\cot \cos (\omega t)) \end{array}\right) \\ \overrightarrow{\mid v}(1) \mid & =\sqrt{(-9,3 \cdot(7,4 \cdot \sin (7,4)-\cos (7,4)))^{2}+(9,3(\sin (7,4)+7,4 \cos (7,4)))^{2}} \\ & =69,45 \mathrm{mrs} \end{aligned} \)
\( \text { 2. } \begin{aligned} \vec{a} & =\dot{\vec{v}}=\left(\begin{array}{l} -v \omega(2 \sin (\omega t)+\omega t \cos (\omega t)) \\ -v \omega(\omega t \sin (\omega t)-2 \cos (\omega t)) \end{array}\right) \\ |\vec{a}(1)| & =\sqrt{(-9,3 \cdot 7,4 \cdot(2 \sin (7,4)+7,4 \cdot \cos (7,4)))^{2}+(-9,3 \cdot 7,4(7,4 \cdot \sin (7,4)-2 \cos (7,4)))^{2}} \\ & =527,54 \mathrm{mas}^{2} \end{aligned} \)

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Warum wurde die Frage zur Nanolounge verwiesen?

Hier geht es konkret um die Berechnung zweier Ableitungen von Vektoren mit anschließender Bestimmung der Beträge.

Answer 1

Per Produktregel:

$$\vec v(t)= v_0\left(\binom{\cos (\omega t)}{\sin (\omega t)} + \omega t\binom{-\sin (\omega t)}{\cos (\omega t)}\right)$$

Analog:

$$\vec a(t)= v_0\left(2\omega\binom{-\sin (\omega t)}{\cos (\omega t)} + \omega^2 t\binom{-\cos (\omega t)}{-\sin (\omega t)}\right)$$

Jetzt setzt du die gegebenen Werte ein und rechnest aus.

Kontrollwerte:

$$|\vec v(1s)| \approx 69.4455 \frac ms$$

$$|\vec a(1s)| \approx 527.54 \frac m{s^2}$$

Comments

Ah jetzt erst gesehen, dann war mein zweiter Versuch doch richtig. Vielen Dank :]