Wie lang dauert es, bis die Schnur vom Tisch herunterfällt, wenn die Gravitation wirkt:

Question

Aufgabe:

Eine homogene Schnur der Länge \( \ell \) liegt reibungsfrei auf einem horizontalen Tisch auf, wobei zum Zeitpunkt \( t=0 \) ein Stück der Länge \( y_{0} \) vom Tisch herunterhängt. Die Länge des herunterhängenden Stückes sei als Funktion \( y \) in Abhängigkeit der Zeit \( t \) gegeben. Wie lange dauert es, bis die Schnur vom Tisch herunterfällt, wenn auf diese die Erdanziehungskraft \( g \) wirkt und die Schnur die Dichte (i.e. Masse pro Längeneinheit) \( \sigma \) besitzt?

Problem/Ansatz:

Mir ist obrige Aufgabe im Kontext der Angewandten Mathematik gegeben - Ich bin mir nicht so sicher auf was sie genau abzielt. Folgendes hätte ich mir einmal überlegt:

Um die Zeit zu berechnen, die es dauert, bis die Schnur vom Tisch herunterfällt, kann man die Bewegungsgleichung der Schnur verwenden. Dafür kann ich doch die Länge \( y \) der herunterhängenden Schnur als Funktion der Zeit \( t \) betrachten.

Die Masse der herunterhängenden Schnur ist \( m=\sigma y \), wobei \( \sigma \) die Dichte der Schnur ist. Die Gewichtskraft, die auf die Schnur wirkt, ist \( F_{g}=m \cdot g=\sigma y \cdot g \), wobei \( g \) die Gravitation ist.

Die Bewegungsgleichung für die Schnur lautet:
\( F_{g}=\frac{d}{d t}(T(y, t)) \)
wobei \( T(y, t) \) die Spannung in der Schnur ist, die von der Länge \( y \) und der Zeit abhängt.

Da die Schnur homogen ist gilt, dass die Spannung \( T \) über die Länge der Schnur konstant ist. Das bedeutet, \( T(y, t)= \) \( T_{0} \), wobei \( T_{0} \) die konstante Spannung in der Schnur ist. Die Spannung \( T_{0} \) ist so gewählt, um die Gewichtskraft der herunterhängenden Schnur auszugleichen.

Die Gewichtskraft \( F_{g} \) ist konstant und gleich \( \sigma y \cdot g \):
\( \sigma y \cdot g=\frac{d}{d t}\left(T_{0}\right) \)

\( \mathrm{Da} I_{0}^{\prime} \) konstant ist, ist die Ableitung nach der Zeit null:
\( \sigma y \cdot g=0 \)
Dies bedeutet, dass die Spannung in der Schnur verschwindet, wenn die Schnur vom Tisch herunterfällt.
Um die Zeit \( t_{f} \) zu berechnen, an der die Spannung in der Schnur verschwindet, setzen wir \( \sigma y \cdot g=0 \) und lösen nach \( t \) auf:
\( \sigma y \cdot g=0 \Longrightarrow y=0 \)
Dies bedeutet ja dann, dass die Schnur vom Tisch herunterfällt, wenn \( y=0 \), also wenn die Länge der herunterhängenden Schnur \( y \) gleich null ist. Das ist der Zeitpunkt, an dem die Schnur vollständig herunterfällt.

Die Zeit \( t_{f} \), die es dauert, bis die Schnur vollständig heruntergefallen ist, ist also:
\( t_{f}=0 \)

Text erkannt:

Um die Zeit zu berechnen, die es dauert, bis die Schnur vom Tisch herunterfällt, können wir die Bewegungsgleichung der Schnur verwenden. Die Schnur kann als eine dünne, flexible Stange betrachtet werden, die unter dem Einfluss der Schwerkraft fällt. Wir werden die Länge \( y \) der herunterhängenden Schnur als Funktion der Zeit \( t \) betrachten.

Die Masse der herunterhängenden Schnur ist \( m=\sigma y \), wobei \( \sigma \) die Dichte der Schnur ist. Die Gewichtskraft, die auf die Schnur wirkt, ist \( F_{g}=m \cdot g=\sigma y \cdot g \), wobei \( g \) die Erdbeschleunigung ist.

Die Bewegungsgleichung für die Schnur lautet:
\( F_{g}=\frac{d}{d t}(T(y, t)) \)
wobei \( T(y, t) \) die Spannung in der Schnur ist, die von der Länge \( y \) und der Zeit abhängt.

Da die Schnur homogen ist, können wir annehmen, dass die Spannung \( T \) über die Länge der Schnur konstant ist, solange die Schnur nicht berührt den Tisch. Das bedeutet, \( T(y, t)= \) \( T_{0} \), wobei \( T_{0} \) die konstante Spannung in der Schnur ist. Die Spannung \( T_{0} \) ist so gewählt, dass sie ausreicht, um die Gewichtskraft der herunterhängenden Schnur auszugleichen.

Die Gewichtskraft \( F_{g} \) ist konstant und gleich \( \sigma y \cdot g \). Daher haben wir:
\( \sigma y \cdot g=\frac{d}{d t}\left(T_{0}\right) \)
Regenerate

Meine Frage besteht somit darin, ob meine Überlegungen richtig sind und ob dies die Aufgabe so erfüllt (oder was man da sonst zeigen sollte?):
LG Euler

Answer 1

Hallo

ich verstehe nicht, warum du mit der Spannung T arbeitest. Dein Anfang ist gut, F=m*g mit m=y*σ  ist die beschleunigende Kraft wobei y das überstehende Stück ist. diese Kraft muss die Gesamtmasse M=l*σ beschleunigen , da m wächst ist a nicht konstant

daraus bastel dir die Dgl ohne ein T

Gruß lul

Comments

Hallo lul,

Danke dir vielmals für deine Antwort - ich hab jetzt mal versucht eine Dgl ohne T aufzustellen:

\( y(t)=\frac{1}{2} g t^{2}+y_{0} \)
\( \begin{array}{l} 0=\frac{1}{2} g t_{f}^{2}+y_{0} \\ \frac{1}{2} g t_{f}^{2}=-y_{0} \\ t_{f}^{2}=-\frac{2 y_{0}}{g} \end{array} \)
Da \( t_{f} \) positiv sein muss, um eine physikalisch sinnvolle Zeit darzustellen, nehmen ich die positive Wurzel:
\( t_{f}=\sqrt{\frac{2 y_{0}}{g}} \)

Wäre das richtig, oder betrachte ich jetzt immer noch was falsch?

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die Beschleunigung gist doch nie g? du hast das ganz normale Fallgesetz hingeschrieben, ich dagegen hatte gesagt, dass a nicht konstant, un erst im allerletzten Moment (wenn die ganze Schnur vom Tisch ist) =g ist

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Ach so - dann probiere ich es nochmal von vorne:

Die Gesamtenergie entspricht
\( E(y, \dot{y})=\sigma \ell \frac{\dot{y}^{2}}{2}-\sigma g \frac{y^{2}}{2} \).

Da die Gesamtenergie während der Bewegung erhalten bleibt, setzen wir \( E \) gleich der Energie am Anfang der Bewegung \( (t=0) \), wenn die Schnur in Ruhe ist:
\( E\left(y_{0}, 0\right)=\sigma \ell \cdot 0-\sigma g \frac{y_{0}^{2}}{2} \)

Dies führt zu:
\( -\sigma g \frac{y_{0}^{2}}{2}=0 \)

Da die Schnur beim Start in Ruhe ist, ist die kinetische Energie 0. Somit ist die Gesamtenergie allein auf die potenzielle Energie zurückzuführen.

Die Gesamtenergie ist:
\( E(y, \dot{y})=-\sigma g \frac{y^{2}}{2} \)

Jetzt können wir die Zeit \( t_{f} \) unter Verwendung der Energieerhaltung und der sich ändernden Länge der Schnur wie folgt berechnen:
\( t_{f}=\int \limits_{y_{0}}^{\ell} \frac{1}{\sqrt{-\sigma g \frac{y^{2}}{\sigma g}}} d y=\int \limits_{y_{0}}^{\ell} \frac{1}{\sqrt{-y^{2}}} d y \)

Integrieren wir dies:
\( t_{f}=\int \limits_{y_{0}}^{\ell} \frac{1}{i|y|} d y \)
wobei \( i \) die Imaginäreinheit ist, und wir die Betragsstriche verwenden, um sicherzustellen, dass der Ausdruck innerhalb der Wurzel immer positiv ist.
\( t_{f}=\int \limits_{y_{0}}^{\ell} \frac{1}{|y|} d y \)

Die Integration ergibt:
\( \begin{array}{c} t_{f}=[\ln |y|]_{y_{0}}^{\ell} \\ t_{f}=\ln |\ell|-\ln \left|y_{0}\right| \end{array} \)

Da \( y_{0} \) und \( \ell \) positive Werte sind, ist die Zeit \( t_{f} \) gleich:
\( t_{f}=\ln \left(\frac{\ell}{y_{0}}\right) \)

Das ist die Zeit, die es dauert, bis die Schnur vom Tisch herunterfällt, unter Berücksichtigung der Energieerhaltung und der sich ändernden Länge der Schnur.

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a) dass die Anfangsenergie die due mit Lageenergie auf dem Tisch =0 ausrechnest plötzlich 0 ist? du hast sie doch selbst mit σy₀y*y₀/2 angegeben?

b) ich sehe nicht wie du von der Energie auf die Zeit kommst. Du hast mit Epot=0 auf dem Tisch negative Energie am Ende aber noch negativere Lageenergie und positive kinetische Energie.

welche Idee verfolgst du, wenn du aus der Energie die Zeit ausrechnest, ich kann das nicht sehen .

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Hallo lul,
Ich habe es jetzt nochmals von vorne versucht:
Die potentielle Energie am Anfang ist \( -\frac{\sigma g y_{0}^{2}}{2} \)
Daraus ergibt sich doch sofort
\( \sigma \ell \frac{\dot{y}^{2}}{2}-\sigma g \frac{y^{2}}{2}=-\sigma g \frac{y_{0}^{2}}{2} \Longleftrightarrow \dot{y}^{2}=\frac{g}{\ell}\left[y^{2}-y_{0}^{2}\right] \)
und damit
\( \dot{y}=\sqrt{\frac{g}{\ell}} \sqrt{y^{2}-y_{0}^{2}} . \)
Aus der Gleichung
\( \dot{y}=\sqrt{\frac{g}{\ell}} \sqrt{y^{2}-y_{0}^{2}} \)
erhalte ich durch Trennung der Variablen
\( \frac{d y}{\sqrt{y^{2}-y_{0}^{2}}}=\sqrt{\frac{g}{\ell}} d t \text {. } \)

Die linke Seite kann mit der Substitution \( y=y_{0} \sec \theta \) gelöst werden:
\( \int \frac{1}{\sqrt{y^{2}-y_{0}^{2}}} d y=\int \frac{1}{\sqrt{y_{0}^{2}\left(\sec ^{2} \theta-1\right)}} y_{0} \sec \theta \tan \theta d \theta \)

Durch die Substitution \( y=y_{0} \sec \theta \) erhalten ich \( d y=y_{0} \sec \theta \tan \theta d \theta \). Damit wird die linke Seite zu:
\( \int \frac{1}{\sqrt{y^{2}-y_{0}^{2}}} d y=\int d \theta=\theta+C_{1} \)

Die rechte Seite lautet:
\( \sqrt{\frac{g}{\ell}} t+C_{2} \)

Somit erhalte ich:
\( \theta+C_{1}=\sqrt{\frac{g}{\ell}} t+C_{2} \)
Um \( y \) in Abhängigkeit von \( t \) zu erhalten, nach \( \theta \) auflösen:
\( \theta=\sqrt{\frac{g}{\ell}} t+\left(C_{2}-C_{1}\right) \)

Die Lösung für \( y \) ist \( y=y_{0} \sec \theta \) :
\( y=y_{0} \sec \left(\sqrt{\frac{g}{\ell}} t+\left(C_{2}-C_{1}\right)\right) \)

Nun können wir die Bedingung setzen, dass \( y=\ell \) (die gesamte Schnur vom Tisch gefallen ist) und die Zeit \( t \) bestimmen:
\( \ell=y_{0} \sec \left(\sqrt{\frac{g}{\ell}} t+\left(C_{2}-C_{1}\right)\right) \)

Wenn ich nun nach \( \mathrm{t} \) auflöse ergibt dies:
\( t=\frac{1}{\sqrt{\frac{g}{\ell}}}\left(\operatorname{arcsec}\left(\frac{\ell}{y_{0}}\right)-\left(C_{2}-C_{1}\right)\right) \)

Stimmt es jetzt???