Antwort mit KI erzeugt
Lösung:
Um herauszufinden, wie lange es dauert, bis die Schnur des Jo-Jos ganz abgerollt ist, müssen wir das Trägheitsmoment des Jo-Jos bestimmen und die Bewegungsgleichung aufstellen.
Schritt 1: Berechnung des Trägheitsmoments des Jo-Jos
Das Trägheitsmoment eines Körpers gibt an, wie viel Widerstand er gegen Änderungen in seiner Rotationsbewegung leistet. Das Gesamtträgheitsmoment des Jo-Jos setzt sich aus den Trägheitsmomenten seiner Teile zusammen: den Kunststoffscheiben, den Metallringen und der zylindrischen Achse.
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Trägheitsmoment der Kunststoffscheiben:
Das Trägheitsmoment einer Vollzylinderscheibe ist gegeben durch \(I = \frac{1}{2} m r^2\), wobei \(m\) die Masse und \(r\) der Radius der Scheibe ist.
- Masse einer Scheibe: \(m = Volumen \times Dichte = \pi r^2 h \times \rho\), wobei \(r = \frac{D_S}{2}\) der Radius und \(h = d_s\) die Dicke der Scheibe ist.
- Für eine Scheibe: \(m = \pi (\frac{0,06m}{2})^2 \times 0,003m \times 940 \frac{kg}{m^3}\)
- \(m = \pi \times 0,0009m^2 \times 0,003m \times 940 \frac{kg}{m^3} = 0,00801 kg\)
Da zwei Scheiben vorhanden sind, verdoppeln wir die Masse: \(m_{gesamt} = 2 \times 0,00801kg = 0,01602 kg\).
Das Trägheitsmoment der beiden Kunststoffscheiben zusammen: \(I_k = 2 \times \frac{1}{2} m (\frac{D_S}{2})^2 = 2 \times \frac{1}{2} \times 0,00801 kg (\frac{0,06m}{2})^2\)
\(I_k = 0,00801 kg \times 0,0009m^2 = 0,00000721 kg \cdot m^2\).
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Trägheitsmoment der Metallringe:
Das Trägheitsmoment eines Ringes ist \(I = \frac{1}{2} m (R^2 + r^2)\), wobei \(R\) der Außenradius und \(r\) der Innenradius ist.
- Masse eines Ringes: \(m = Volumen \times Dichte = (\pi (R^2 - r^2) h) \times \rho\)
- \(m = \pi ((\frac{0,06m}{2})^2 - (\frac{0,04m}{2})^2) \times 0,005m \times 7800 \frac{kg}{m^3}\)
- \(m = \pi (0,0011m^2) \times 0,005m \times 7800 \frac{kg}{m^3} = 0,0427 kg\)
Da zwei Ringe vorhanden sind, vervielfacht sich die Masse: \(m_{gesamt} = 2 \times 0,0427 kg = 0,0854 kg\).
Trägheitsmoment der beiden Metallringe zusammen: \(I_m = 2 \times \frac{1}{2} m (R^2 + r^2)\)
\(I_m = 0,0854 kg \times (\frac{0,03m^2 + 0,02m^2}{2}) = 0,0427 kg \times 0,0025m^2 = 0,00010675 kg \cdot m^2\).
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Trägheitsmoment der Achse:
Das Trägheitsmoment für die zylindrische Achse können wir als vernachlässigbar klein annehmen, da ihre Masse im Vergleich zu den anderen Teilen gering ist.
Gesamtträgheitsmoment des Jo-Jos: \(I_{gesamt} = I_k + I_m = 0,00000721 kg \cdot m^2 + 0,00010675 kg \cdot m^2 = 0,00011396 kg \cdot m^2\).
Schritt 2: Bewegungsgleichung
Das Jo-Jo rollt ohne zu rutschen, daher ist die translatorische Energie und die Rotationsenergie beteiligt. Die Geschwindigkeit des Jo-Jos und die Rotationsgeschwindigkeit sind über die Länge der Schnur miteinander verknüpft.
Die kinetische Energie \(E_k\) des Jo-Jos beim Abrollen der Schnur setzt sich zusammen aus:
\(E_k = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m v^2\)
Oder mit \(v = \omega r\), wobei \(r\) der Radius der Achse \(D_A/2\) ist:
\(E_k = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m (\omega \frac{D_A}{2})^2 = \frac{1}{2} \omega^2 (I + m (\frac{D_A}{2})^2)\)
Um die Zeit zu bestimmen, benötigen wir die Fallbeschleunigung \(g\) und die Höhe \(h\), welche der Länge der Schnur entspricht. Da jedoch in dieser Aufgabe keine Werte vorgegeben sind, um eine Beschleunigung oder Endgeschwindigkeit direkt zu berechnen, fehlt uns eine explizite Methode zur Berechnung der Zeit direkt aus diesen Gleichungen.
Normalerweise würde man eine Beziehung zwischen der abgerollten Länge der Schnur und der Zeit mittels der Rotation des Jo-Jos aufstellen, aber aufgrund der fehlenden expliziten Angaben über Reibung oder eine anfängliche Wurfbewegung kann die Zeit nicht direkt berechnet werden, ohne weitere Annahmen zu treffen.
Eine Möglichkeit wäre, den Energieerhaltungssatz zu verwenden, um die Endgeschwindigkeit (\(\omega\)) zu bestimmen und dann über die Beziehung zwischen Rotationsgeschwindigkeit und der Länge der Schnur auf die Zeit zu schließen. Doch ohne genauere Angaben oder Vernachlässigungen (wie reibungsfreie Bewegung und kein Luftwiderstand) fehlen uns die nötigen Informationen, um explizit die Dauer zu berechnen, die es braucht, bis die Schnur vollständig abgerollt ist.
