Aloha :)
Für Pirx als Reisenden im Raumschiff läuft die Zeit normal weiter. Dafür staucht sich der Raum vor ihm in der Länge zusammen (Längenkontraktion). Der Stauchungsfaktor ist nach Einstein:$$\alpha=\sqrt{1-\frac {v^2}{c^2}}$$
Darin ist \(v\) die Geschwindigkeit des Raumschiffs und \(c\) die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Dieser Faktor \(\alpha\) schrumpft mit \((v\to c)\) gegen Null. Pirx muss also nur genügend schnell sein, damit der Raum vor ihm so stark verkürzt wird, dass er die Entfernung in 6 Monaten bewältigen kann.
Wie groß muss diese Geschwindigkeit \(v\) sein?
Wir rechnen \(v\) relativ zur Lichtgeschwindigkeit \(c\) und setzen \(\pink{v=p\cdot c}\).
Wenn Pirx die Zeit \(t\) mit der Geschwidnigkeit \(v\) unterweg ist, legt er die Strecke \(s\) zurück$$s=\pink v\cdot t=\pink{p\cdot c}\cdot t$$Diese Strecke muss der gestauchten Entfernung zu Proxima Centauri entsprechen:$$4,2\,\text{LJ}\cdot\alpha=p\cdot c\cdot t\quad\big|\text{\(\alpha\) einsetzen}$$$$4,2\,\text{LJ}\cdot\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=p\cdot c\cdot t\quad\big|\text{\(\pink{v=p\cdot c}\) einsetzen}$$$$4,2\,\text{LJ}\cdot\sqrt{1-\frac{p^2c^2}{c^2}}=p\cdot c\cdot t\quad\big|\text{\(t=0,5\) Jahre}\implies c\cdot t=0,5\,\text{LJ}$$$$4,2\,\text{LJ}\cdot\sqrt{1-p^2}=p\cdot0,5\,\text{LJ}\quad\big|\div0,5\,\text{LJ}$$$$8,4\cdot\sqrt{1-p^2}=p\quad\big|\text{quadrieren}$$$$70,56\cdot(1-p^2)=p^2\quad\big|+70,56p^2$$$$70,56=71,56p^2\quad\big|\div71,56$$$$p^2=\frac{70,56}{71,56}\quad\bigg|\sqrt{\cdots}$$$$p\approx0,992988$$
Pirx muss also konstant mit \(99,2988\%\) der Lichgeschwindigkeit fliegen.
