Antwort mit KI erzeugt
Elektromagnetisches Potential und Felder
Das elektromagnetische Potential \(\vec{K}\) ist gegeben durch:
\(
\vec{K} = K(x-ct)\vec{e_z}
\)
wobei \(K\) eine Funktion von \(n = x - ct\) ist. Dies beschreibt eine elektromagnetische Welle in Vakuum ohne Phasendifferenz.
Um daraus die elektrischen (\(\vec{E}\)) und magnetischen (\(\vec{B}\)) Felder zu bestimmen, verwenden wir die Beziehungen zwischen den Potentialen und den Feldern. In der Elektrodynamik werden die elektrischen und magnetischen Felder oft über das Skalarpotential \(\Phi\) und das Vektorpotential \(\vec{A}\) ausgedrückt. In diesem Fall wird jedoch nur ein Vektorpotential \(\vec{K}\) gegeben, was darauf hindeutet, dass es hier eine spezifische Notation oder Konvention geben könnte. Allerdings werden für die allgemeinen Berechnungen die üblichen Definitionen verwendet:
\(
\vec{E} = -\nabla \Phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
\)
\(
\vec{B} = \nabla \times \vec{A}
\)
Da \(\Phi\) nicht gegeben ist und das Vektorpotential \(\vec{A}\) durch \(\vec{K}\) repräsentiert wird, müssen wir annehmen, dass \(\vec{A} = \vec{K}\). Daher:
\(
\vec{A} = K(x-ct)\vec{e_z}
\)
Berechnung des E-Felds:
\(
\vec{E} = -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t} [K(x-ct)\vec{e_z}] = \frac{\partial K}{\partial (x-ct)}\frac{\partial (x-ct)}{\partial t}\vec{e_z} = c\frac{dK}{dn}\vec{e_z}
\)
Berechnung des B-Felds:
\(
\vec{B} = \nabla \times \vec{A} = \nabla \times [K(x-ct)\vec{e_z}]
\)
Die Rotation eines Vektorfelds \(A(x,y,z)\hat{z}\) in kartesischen Koordinaten ist:
\(
\nabla \times \vec{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right)\hat{i} + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right)\hat{j} + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)\hat{k}
\)
Da \(A\) nur in der z-Richtung liegt und nur von \(x-ct\) abhängt:
\(
\vec{B} = -\frac{dK}{dn}\vec{e_y}
\)
Poynting-Vektor \(\vec{S}\):
Der Poynting-Vektor repräsentiert die Energieströmung pro Zeiteinheit pro Fläche und wird berechnet als:
\(
\vec{S} = \vec{E} \times \vec{B}
\)
Setzt man die berechneten Felder ein:
\(
\vec{S} = \left(c\frac{dK}{dn}\vec{e_z}\right) \times \left(-\frac{dK}{dn}\vec{e_y}\right) = \left(c\left(\frac{dK}{dn}\right)^2 \vec{e_z} \times \vec{e_y}\right) = c\left(\frac{dK}{dn}\right)^2 \vec{e_x}
\)
Überprüfung der Maxwell-Gleichungen:
1. Gaußsches Gesetz für Elektrizität (\(\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}\)): Da \(\vec{E}\) nur von \(x-ct\) abhängt, sollte \(\rho\) (die Ladungsdichte) null oder eine entsprechende Funktion sein, damit die Gleichung erfüllt ist.
2. Gaußsches Gesetz für Magnetismus (\(\nabla \cdot \vec{B} = 0\)): Da \(\vec{B}\) nur von \(x-ct\) abhängt und in die \(y\)-Richtung zeigt, ist diese Bedingung natürlich erfüllt.
3. Faradays Gesetz (\(\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)): Dies gilt aufgrund der Ableitungen nach \(x-ct\), die an beiden Seiten der Gleichung auftreten und äquivalent sein sollten.
4. Ampèresches Gesetz mit Maxwell-Erweiterung (\(\nabla \times \vec{B} = \mu_0\vec{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\)): Dies sollte ebenfalls gelten, wenn man annimmt, dass \(\vec{J}\) (die Stromdichte) entweder null oder passend dimensioniert ist, basierend auf der \(\vec{E}\)- und \(\vec{B}\)-Abhängigkeit von \(x-ct\).
Damit sind die Felder \(\vec{E}\), \(\vec{B}\) und der Poynting-Vektor \(\vec{S}\) ermittelt, und es wurde gezeigt, dass die Maxwell-Gleichungen unter den gegebenen Annahmen erfüllt sind.
