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Ersatzanordnung und Ersatzgrößen bestimmen
Um das elektrische Feld und das Potential für \(r > r_0\) zu bestimmen, betrachten wir die Symmetrie des Problems und die Effekte einer leitenden Kugel in einem extern angelegten elektrischen Feld. Die Ersatzanordnung umfasst die zwei Punktladungen \(Q_{1}=Q_0\) und \(Q_{2}=-2Q_0\) sowie eine induzierte Ladungsverteilung auf der Oberfläche der leitenden Kugel. Letztere resultiert aus der Tatsache, dass die leitende Kugel die elektrischen Feldlinien so umordnet, dass im Inneren der Kugel kein Feld mehr vorhanden ist (Feldfreiheit im Inneren einer Leiter).
Um die Ersatzgrößen zu bestimmen, nutzen wir das Prinzip, dass das elektrische Potential einer Anordnung von Punktladungen die Summe der einzelnen Potentiale ist, die von diesen Ladungen herrühren. Das von jeder Punktladung erzeugte elektrische Feld ergibt sich aus dem Coulomb-Gesetz. Da die Kugel ungeladen ist, trägt sie direkt nicht zum fernen Feld bei \(r>r_0\) bei. Allerdings induziert das Feld der Punktladungen eine Ladungsverteilung auf ihrer Oberfläche, die wiederum ein eigenes Feld erzeugt. Die effektive Feldverteilung und das Potential im Bereich \(r>r_0\) sind somit durch die Überlagerung der Felder der Punktladungen und der induzierten Ladungsverteilung bestimmt.
Es ist allerdings mathematisch komplex, genau die induzierte Ladungsverteilung auf der Kugeloberfläche zu berechnen, ohne zusätzliche Informationen oder Vereinfachungen. Für den ersten Schritt dieser Lösung wird daher angenommen, dass die Gesamtheit der Punktladungen und die induzierte Ladungsverteilung insgesamt ein Dipolmoment oder ein Multipolmoment höherer Ordnung ergeben, wobei der spezifische Typ und die Größe dieses Moments von den Positionen der Ladungen (\(a\) und \(b\)) und dem Kugelradius \(r_0\) abhängen würden.
Bestimmung des elektrischen Potentials und der elektrischen Feldstärke für \( r>r_{0} \)
Für \(r > r_0\), wo \(r\) der radiale Abstand von der Kugelmitte ist, kann die Wirkung der induzierten Ladung auf der Kugeloberfläche und der zwei Punktladungen durch ein effektives elektrisches Potential \(\Phi(r)\) und eine elektrische Feldstärke \(E(r)\) beschrieben werden. Die spezifischen Formeln für \(\Phi\) und \(E\) hängen von den Details der Ersatzanordnung ab. Ohne die spezifischen Werte der induzierten Ladungen oder des Moments ist eine genaue Berechnung von \(\Phi(r)\) und \(E(r)\) nicht direkt möglich.
Allgemein gilt jedoch:
- Das elektrische Potential \(\Phi(r)\) in einem Punkt im Raum, der durch eine Anordnung von Ladungen erzeugt wird, ist das Integral der Potentiale, die durch die einzelnen Ladungen erzeugt werden, abhängig von deren Abstand zum Punkt.
- Die elektrische Feldstärke \(E(r)\) kann durch die negative Gradientenbildung des Potentials \(\Phi(r)\) ermittelt werden, \(E(r) = -\nabla \Phi(r)\).
Für eine qualitative Analyse können Sie vereinfachend annehmen, dass die Feld- und Potenzialverteilung außerhalb der Kugel durch die Überlagerung der von den individuellen Punktladungen und der induzierten Ladungsverteilung erzeugten Felder und Potentiale bestimmt wird. Die genauen Ausdrücke erfordern eine detaillierte Berechnung basierend auf dem Positionen der Ladungen und dem induzierten Moment.
