Ermitteln Sie mit Hilfe des d'Alembertschen Prinzips die Bedingung für das Gleichgewicht beider Massen.

Question

Aufgabe:

Massen an konzentrischen Rollen

Betrachten Sie zwei Massen \( m \) und \( M \), die an von zwei konzentrischen Rollen der Radien \( r \) und \( R \) abgewickelten Seilen hängen, wie in der Skizze gezeigt. Beide Rollen können nur zusammen rotieren. Die Seile rollen ohne Schlupf ab.

(a) Geben Sie die virtuellen Verrückungen der beiden Massen in geeigneten verallgemeinerten Koordinaten an. Fertigen Sie eine erneute Skizze an, in der Sie die Koordinaten, die Richtungen der auf die Massen wirkenden Zwangskräfte und die virtuellen Verrückungen einzeichnen.

(b) Ermitteln Sie mit Hilfe des d'Alembertschen Prinzips die Bedingung für das Gleichgewicht beider Massen.

Answer 1

Hallo

deinen Zettel kann ich kaum lesen, richtig ist dein M=mr/R wenn M  bei R angreift, m bei r

Gruß lul

Comments

Bei mir kommt raus, dass M=mr/R, aber die richtige Lösung ist M=mR/r und ich verstehe nicht warum

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Text erkannt:

Mame Losury
die mentige Losunf
a)
b
\( \begin{array}{l} r_{1} \equiv r_{n}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ z_{1}+r \varphi \end{array}\right) \\ r_{2}=r_{M}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 2_{2}-R_{4} \end{array}\right) \quad \delta_{1}=\delta_{r_{M}}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ R_{2} \end{array}\right) \delta_{Q} \\ \delta_{r_{2}}=\delta_{r_{\mu}}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -R \\ -R \end{array}\right) \delta_{4} \quad \delta_{r_{2}}=\delta_{r \mu}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ i \end{array}\right) \delta_{\varphi} \\ \end{array} \)
)
\( \begin{array}{l} F_{1}=-m g e_{2} \quad F_{2}=-g_{g e} \quad M=\frac{m R}{h} \\ m g r=M g R \\ M=\frac{m r}{R} \\ \end{array} \)

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Woher kommt, dass M=mR/r sein muss?

Ja, wenn man Momenten betrachtet, bekommt man Mr=mR. Aber es geht nicht um Momenten

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Falls M bei R angreift und m bei r, dann ist die Anordnung im Gleichgewicht, wenn

M*R = m*r

Das ist das alte Hebelgesetz, das gilt immer noch. Man kann es auch
"Summe aller Drehmomente = 0" nennen. Auch wenn es gar nicht um Momente geht, sind deren Gesetzmäßigkeiten noch vorhanden..

Ich würde eine Musterlösung stark anzweifeln, die das Hebelgesetz aushebelt.

Die Musterlösung hat verallgemeinerten Koordinaten verwendet, bei denen die Auslenkung von M  aus dem Ruhezustand mit phi bezeichnet wird.

Die zugehörigen Auslenkung von m ist dann r/R *phi und du fragst zurecht, warum da R/r*phi steht.

Answer 2

Antwort mit KI erzeugt

Aufgabe (a) – Virtuelle Verrückungen

In dieser Aufgabe schauen wir uns zwei Massen an, die über Seile, die an von zwei konzentrischen Rollen abgewickelt sind, miteinander verbunden sind. Die Massen sind mit \(m\) und \(M\) bezeichnet, und die Radien der Rollen mit \(r\) und \(R\).

Um die virtuellen Verrückungen zu bestimmen, führen wir eine geeignete verallgemeinerte Koordinate \( \theta \) ein, die den Drehwinkel der Rollen beschreibt. Für jede Umdrehung, die die Rollen machen, werden die Seile um den Umfang der jeweiligen Rolle ab- bzw. aufgewickelt.

Die virtuelle Verrückung \(\delta s_m\) der Masse \(m\), die am kleineren Radius \(r\) hängt, ergibt sich aus der Beziehung \(\delta s_m = r \delta \theta\), wobei \(\delta \theta\) eine kleine Änderung im Winkel ist.

Die virtuelle Verrückung \(\delta s_M\) der Masse \(M\), die am größeren Radius \(R\) hängt, beträgt entsprechend \(\delta s_M = R \delta \theta\).

Zwangskräfte: Die Zwangskräfte wirken senkrecht zu den virtuellen Verrückungen, was bedeutet, sie wirken entlang der Seile, um die Bewegung auf die Bahn, die durch die Rotationsbewegung der Rollen definiert ist, zu beschränken.

Da ich die Skizze nicht neu anfertigen kann, beschreibe ich die Situation:
- Stellen Sie sich vor, \(m\) hängt an einem Punkt des kleineren Radius \(r\), und \(M\) hängt am entsprechenden Punkt des größeren Radius \(R\).
- Der Drehwinkel \(\theta\) wird um die Achse, die durch die Mittelpunkte der Rollen geht, gemessen.
- Die Richtungen der auf die Massen wirkenden Zwangskräfte sind entlang der Seile, also vertikal.

Aufgabe (b) – Gleichgewichtsbedingung nach d'Alemberts Prinzip

Das d'Alembertsche Prinzip besagt, dass für ein System im Gleichgewicht die Summe aus den wirkenden Kräften und den Trägheitskräften gleich null sein muss.

Für die Masse \(m\) gilt, dass die nach unten gerichtete Gravitationskraft \(m \cdot g\) und die Trägheitskraft \( - m \cdot a \) (wobei \(a\) die Beschleunigung ist und das Minuszeichen anzeigt, dass die Trägheitskraft entgegen der Bewegungsrichtung wirkt) im Gleichgewicht stehen.

Für die Masse \(M\) gilt entsprechend, dass \(M \cdot g\) nach unten wirkt und die Trägheitskraft \( - M \cdot a \) nach oben wirkt.

Weil beide Massen über die konzentrischen Rollen miteinander verbunden sind, ist ihre Beschleunigung \(a\) durch die Radien und den Winkel \(\theta\) miteinander verknüpft. Für die Massen gilt:
\(a_m = r \cdot \alpha\) und \(a_M = R \cdot \alpha\), wobei \(\alpha\) die Winkelbeschleunigung ist.

Setzen wir das d'Alembertsche Prinzip an, erhalten wir:
\(m \cdot g - m \cdot r \cdot \alpha = 0\)
\(M \cdot g - M \cdot R \cdot \alpha = 0\)

Da beide Massen über das gleiche System von Seilen und Rollen verbunden sind, setzen wir die Beschleunigungen gleich, um die Gleichgewichtsbedingung zu finden:
\(m \cdot r = M \cdot R\)

Dies vereinfacht sich zu der Gleichgewichtsbedingung:
\(m \cdot r = M \cdot R\)

Fazit: Für das Gleichgewicht müssen die Produkte aus den Massen und den zugehörigen Radien gleich sein. Dies berücksichtigt sowohl die Gravitationskraft, die auf jede Masse wirkt, als auch die durch den Radius bedingte Hebelwirkung im System der konzentrischen Rollen.