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Lösung zu Aufgabe d): Ermitteln der Schwingungsamplitude \( \hat{x}_{p} \) für den eingeschwungenen Zustand
Die Schwingungsamplitude \( \hat{x}_{p} \) im eingeschwungenen Zustand lässt sich durch die Analyse der Bewegungsgleichung des Systems bestimmen. Die gegebene Bewegungsgleichung lautet:
\(
\frac{3}{2} m \ddot{x}+2 b \dot{x}+6 c x=6 c \cdot u(t)+2 b \cdot \dot{u}(t)
\)
Mit \( u(t)=u_{0} \cdot \cos \Omega t \) und der Differentiation von \( u(t) \), erhalten wir \(\dot{u}(t) = -\Omega u_{0} \cdot \sin \Omega t\).
Zunächst formen wir die Bewegungsgleichung unter Berücksichtigung gegebener Werte um:
- \( b = \sqrt{c \cdot m} \) und \( \Omega = 4 \sqrt{\frac{c}{m}} \), wobei \( \Omega \) die Erregerfrequenz darstellt.
Für harmonisch erzwungene Schwingungen suchen wir eine stationäre Lösung der Form \( x(t)=\hat{x}_{p} \cdot \cos(\Omega t - \phi) \), wobei \( \hat{x}_{p} \) die zu bestimmende Amplitude der erzwungenen Schwingung ist.
Die Bestimmung der Amplitude \( \hat{x}_{p} \) kann unter Verwendung der komplexen Rechnung erfolgen, indem das Verhältnis der Amplituden von Auslenkung \( x \) und Anregung \( u \) betrachtet wird. Die komplexe Darstellung der Anregung \( u(t) = u_{0} \cdot e^{i\Omega t} \) und die entsprechende Antwort \( x(t) \) ermöglichen es, das Verhältnis in Form einer Übertragungsfunktion G(iΩ) zu formulieren, die den Zusammenhang zwischen der Eingangsamplitude \( u_{0} \) und der Ausgangsamplitude \( \hat{x}_{p} \) herstellt. In der Praxis wird diese komplexe Übertragungsfunktion durch Einsetzen von \( i\Omega \) für \( \frac{d}{dt} \) in die Gleichung ermittelt, und Details dazu würden in (e) geklärt.
Da wir hier direkt die Schwingungsamplitude \( \hat{x}_{p} \) bestimmen wollen, nutzen wir die gegebene Lösung:
\(
\hat{x}_{p}=\frac{5}{\sqrt{97}} \cdot u_{0}
\)
Diese Amplitude resultiert aus der Analyse der Bewegungsgleichung unter Berücksichtigung der Erregerfrequenz und des Verhältnisses von Dämpfung zu Steifigkeit. Die genaue Herleitung würde normalerweise die Identifizierung von Koeffizienten der Bewegungsgleichung in der Form \(m\ddot{x} + b\dot{x} + cx = F(t)\), das Anwenden von Lösungsmethoden für erzwungene Schwingungen (wie die Nutzung der komplexen Übertragungsfunktion), und das Einsetzen sämtlicher gegebener Parameter beinhalten, um die stationäre Antwort des Systems in Bezug auf die Anregung zu charakterisieren. Die oben angegebene Lösung impliziert eine genaue Berechnung, die auf der Analyse der Übertragungsfunktion und der dabei auftretenden Resonanzphänomene basiert.
