Mo Ich brauche Hilfe beim ersten Schritt. Ich weiß nicht, wie die Kräfte Fa und Fb aussehen werden. Was bedeutet die Division durch r^3?
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1. Raumschiffschwingungsgleichungen
Ein Raumschiff \( R \) fliegt (gerade entlang einer gedachten \( x \)-Achse) in der Mitte zwischen den Sternen \( A \) und \( B \) hindurch, wobei die Positionen \( \vec{x}_{A}=(0,1), \vec{x}_{B}=(0,-1) \) und \( \vec{x}_{R}=(x, 0) \) sind.
a) Was ist die beschleunigende Gravitationskraft \( \vec{F}(\vec{x}) \) des Raumschiffs als Funktion von \( \vec{x} \) ? Dabei gilt \( \vec{F}(\vec{x})=\vec{F}_{A}+\vec{F}_{B} \) mit \( \vec{F}_{A, B}=\frac{\vec{r}_{A, B}}{r^{3}} \) mit \( \vec{r}_{A}=\vec{x}_{A}-\vec{x}_{R} \) und \( \vec{r}_{B}=\vec{x}_{B}-\vec{x}_{R} \). Achten Sie dabei auf das korrekte Vorzeichen der Lösungsfunktion \( F_{x}(x) \).
b) Bestimmen Sie die Ableitungen \( F_{x}^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d} F_{x}}{\mathrm{~d} x} \) und \( F_{x}^{\prime \prime}(x)=\frac{\mathrm{d}^{2} F_{x}}{\mathrm{~d} x^{2}} \).
c) Bestimmen Sie die \( x \)-Positionen der Extrema aus \( F_{x}^{\prime}(x)=0 \) und bestimmen Sie ob es sich dabei um ein Minimum oder Maximum handelt.
d) Bestimmen Sie die Umkehrpunkte der Krümmung aus \( F_{x}^{\prime \prime}(x)=0 \).
e) Diskutieren Sie das Verhalten von \( F_{x} \) für \( x \rightarrow \infty \).
f) Klassifizieren Sie die Differentialgleichung der Bewegungsgleichung \( \ddot{x}=F_{x}(x) \).
g) Lineariesieren Sie die DGL auf f), d.h. nähern Sie \( F_{x}(x) \) für sehr kleine \( |x| \ll 1 \) an. Welche bekannte DGL erhält man dabei? Was ist hier die Eigenfrequenz der linearen DGL?
h) Bestimmen Sie das unbestimmte Integral \( W=\int F_{x}(x) \mathrm{d} x \) mit der ursprünglichen (nicht- linearen) Kraft aus a) durch eine geeignete Substitution der Variablen.
i) Berechnen Sie das bestimmte Integral \( \Delta W \) von \( x=0 \) bis \( x=\infty \). Was ist die physikalische Interpretation dieser Größe?
