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Lösungshinweise zu Aufgabe: Vektoren im IR2 und Textaufgabe
Um die Kraftvektoren in den Stäben \(s_1 = AB\) und \(s_2 = CB\) eines Krans zu bestimmen, wobei eine Masse von \(2000 \, \text{kg}\) an ihm hängt, gehen wir schrittweise vor. Dafür müssen wir zuerst verstehen, dass die Gewichtskraft \(F_g\) der Masse aufgrund der Gravitation in Richtung der negativen y-Achse wirkt. Die Gravitationskraft (Gewichtskraft) ist gegeben durch \(F_g = m \cdot g\), wobei \(m\) die Masse (in kg) und \(g\) die Erdbeschleunigung (angenommen als \(9.81 \, \text{m/s}^2\)) ist.
Schritt 1: Berechnung der Gewichtskraft
\(
F_g = m \cdot g = 2000 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 19620 \, \text{N}
\)
Die Gewichtskraft wirkt in Richtung der negativen y-Achse, also kann die Kraft als Vektor dargestellt werden: \(\vec{F_g} = (0, -19620)\).
Schritt 2: Bestimmung der Vektoren der Stäbe
Die Positionen der Eckpunkte sind gegeben als:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(3, 2)\)
- \(C(0, 1)\)
Daraus ergeben sich die Stabvektoren:
- \(s_1 = \vec{AB} = B - A = (3, 2) - (0, 0) = (3, 2)\)
- \(s_2 = \vec{CB} = B - C = (3, 2) - (0, 1) = (3, 1)\)
Schritt 3: Zerlegung der Gewichtskraft
Die gesamte Gewichtskraft \(F_g\) muss durch die Stäbe \(s_1\) und \(s_2\) aufgenommen werden. Die Kräfte in den Stäben wirken entlang ihrer Richtungen, d.h., sie werden Komponenten der Gewichtskraft sein. Die Schwierigkeit besteht darin, die richtige Verteilung der Komponenten von \(F_g\) auf \(s_1\) und \(s_2\) zu finden.
Da keine weiteren Informationen über die Verteilung der Belastung vorliegen, wird vereinfachend angenommen, dass die Gewichtskraft proportional zur Länge der Stäbe und ihrer Orientierung im Raum auf sie verteilt wird. Dies ist jedoch eine Vereinfachung, da in der Realität auch die Winkel zwischen den Stäben und die genaue Art der Lastverteilung berücksichtigt werden müssten.
Schritt 4: Berechnung der Kräfte in den Stäben
Um die Kräfte in den Stäben genau zu berechnen, muss ein Kräftegleichgewicht aufgestellt werden. Dies kann komplex werden, da es das Lösen eines Systems linearer Gleichungen beinhaltet. Eine mögliche Methode wäre, die Richtungen von \(s_1\) und \(s_2\) zu nutzen, um die Anteile von \(\vec{F_g}\) entlang dieser Stäbe zu berechnen. Ohne die angewandte Winkelbeziehung oder spezifischere Anweisungen ist eine genaue Aufteilung der Kraft auf \(s_1\) und \(s_2\) jedoch nicht direkt möglich.
Eine vereinfachte Annahme wäre die gleichmäßige Verteilung der Kraft basierend auf der Intuition, aber für eine exakte Lösung benötigen wir zusätzliche Parameter oder Annahmen über die Struktur des Krans und die Art der Verbindungen.
Schritt 5: Hinweis zur exakteren Lösung
Für eine genauere Lösung müsste bekannt sein, wie die Masse am Punkt C hängt (z.B. über Seile oder Gelenke), und ob die Stäbe als starr und inkompressibel betrachtet werden können. Außerdem wäre ein Verständnis der mechanischen Prinzipien wie Kräftezerlegung, Gleichgewichtsbedingungen und die Theorie hinter Fachwerken erforderlich. Die Aufgabenstellung lässt diese spezifischen Details offen, wodurch eine umfassende Lösung ohne weitere Annahmen nicht direkt möglich ist.
