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Beweglichkeit der Leitungselektronen berechnen
Um die Beweglichkeit \(\mu\) der Leitungselektronen für das Metall Gold zu bestimmen, benötigen wir neben der gegebenen Leitfähigkeit \(\sigma = 46 \, \text{S/m}\) auch die Ladungsträgerkonzentration \(n\). Die Formel, die gegeben wurde, ist:
\(
\mu = \frac{\sigma}{n \cdot e}
\)
Hierbei ist \(e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\) die Elementarladung. Die Ladungsträgerkonzentration \(n\) gibt an, wie viele freie Ladungsträger (in diesem Fall Elektronen) pro Volumeneinheit vorhanden sind. Diese Größe zu berechnen, erfordert einige zusätzliche Schritte, da sie nicht direkt gegeben ist.
Schritte zur Berechnung der Ladungsträgerkonzentration \(n\):
1.
Bestimmung der Mole von Gold pro cm³:
Zuerst müssen wir wissen, wie viele Atome von Gold in 1 cm³ Substanz enthalten sind. Mit der gegebenen Dichte von Gold (\(19,28 \, \text{g/cm}^3\)) und dem Atomgewicht von Gold (\(197 \, \text{g/mol}\)) können wir die Molzahl pro cm³ bestimmen:
\(
\text{Mol pro cm}^3 = \frac{19,28 \, \text{g/cm}^3}{197 \, \text{g/mol}}
\)
\(
\text{Mol pro cm}^3 = 0.0979 \, \text{mol/cm}^3
\)
2.
Umwandlung in Atome pro cm³:
Um von Molen zu Atomen zu kommen, nutzen wir die Avogadro-Konstante (\(N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{Atome/mol}\)):
\(
\text{Atome pro cm}^3 = 0.0979 \, \text{mol/cm}^3 \times 6.022 \times 10^{23} \, \text{Atome/mol}
\)
\(
\text{Atome pro cm}^3 = 5.90 \times 10^{22} \, \text{Atome/cm}^3
\)
Da jedes Goldatom (unter der Annahme, dass es sich um ein einwertiges Metall handelt) im Durchschnitt ein Leitungselektron zur elektrischen Leitung beiträgt, ist die Ladungsträgerkonzentration \(n\) gleich der Anzahl der Atome pro cm³:
\(
n = 5.90 \times 10^{22} \, \text{Elektronen/cm}^3
\)
3.
Berechnung der Beweglichkeit \(\mu\):
Mit \(n = 5.90 \times 10^{22} \, \text{Elektronen/cm}^3\) und \(e = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{C}\) können wir nun die Beweglichkeit \(\mu\) berechnen, mit der gegebenen Leitfähigkeit \(\sigma = 46 \, \text{S/m}\):
\(
\mu = \frac{\sigma}{n \cdot e} = \frac{46}{5.90 \times 10^{22} \cdot 1.6 \times 10^{-19}}
\)
Da \(n\) in Elektronen/cm\(^3\) und \(\sigma\) in S/m angegeben wurde, sollten wir \(n\) in Elektronen/m\(^3\) umrechnen, um Einheitenkonsistenz zu gewährleisten:
\(
n = 5.90 \times 10^{22} \, \text{Elektronen/cm}^3 = 5.90 \times 10^{28} \, \text{Elektronen/m}^3
\)
Damit wird:
\(
\mu = \frac{46}{5.90 \times 10^{28} \times 1.6 \times 10^{-19}} = \frac{46}{9.44 \times 10^{9}} = 4.87 \times 10^{-9} \, \text{m}^2/(\text{Vs})
\)
Also beträgt die Beweglichkeit der Leitungselektronen in Gold ungefähr \(4.87 \times 10^{-3} \, \text{m}^2/(\text{Vs})\).
