Antwort mit KI erzeugt
a) Wie groß ist der maximale Übertragungsbereich dieser Übertragungskette? (Frequenzgang)
Für den maximalen Übertragungsbereich einer Übertragungskette mit einem Verstärker und Lautsprechern berücksichtigen wir den engsten Frequenzbereich, der von allen Komponenten abgedeckt wird. Der Verstärker deckt einen Bereich von \(10 \mathrm{~Hz}\) bis \(20 \mathrm{kHz}\) ab, während die Lautsprecher einen Bereich von \(60 \mathrm{~Hz}\) bis \(16 \mathrm{kHz}(-10 \mathrm{~dB})\) abdecken.
Da die Lautsprecher nur bis zu \(16 \mathrm{kHz}\) abdecken und der Verstärker bis zu \(20 \mathrm{kHz}\), jedoch die Lautsprecher nicht unter \(60 \mathrm{~Hz}\) gehen und der Verstärker ab \(10 \mathrm{~Hz}\), ist der maximale Übertragungsbereich der Kette limitiert durch die Lautsprecher. Also liegt der maximale Übertragungsbereich dieser Übertragungskette zwischen \(60 \mathrm{~Hz}\) und \(16 \mathrm{kHz}\).
b) Ist ein sicherer Betrieb der Lautsprecher mit diesem Verstärker möglich?
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die Spitzenleistung des Verstärkers und den Scheinwiderstand der Lautsprecher in ihrer Reihenschaltung vergleichen.
Der Verstärker liefert \(800 \mathrm{Watt}\) bei \(4 \mathrm{Ohm}\). Wenn die zwei Lautsprecher in Reihe geschaltet sind, ist ihr Gesamtwiderstand gleich der Summe der Einzelwiderstände, also \(2 \times 16 \mathrm{Ohm} = 32 \mathrm{Ohm}\).
Da die Impedanz der Lautsprecher in Reihe \(32 \mathrm{Ohm}\) beträgt, was weit höher ist als die \(4 \mathrm{Ohm}\), für die der Verstärker seine maximale Leistung ausgibt, wird die vom Verstärker tatsächlich an die Lautsprecher abgegebene Leistung deutlich kleiner als \(800 \mathrm{Watt}\) sein. Somit sollten die Lautsprecher sicher betrieben werden können, da ihre maximale Belastung von \(100 \mathrm{VA}\) pro Lautsprecher nicht erreicht wird, wobei VA hier als äquivalent zur Leistung in Watt betrachtet werden kann.
c) Für den Betrieb der Lautsprecher wird ein \(50 \mathrm{~m}\) langes Kupferkabel benutzt. Welcher Querschnitt ist dafür notwendig, um maximal \(10 \%\) Verlust zu erreichen?
Kupfer hat eine spezifische elektrische Leitfähigkeit von etwa \(\gamma = 56 \cdot 10^6 \, \mathrm{S/m}\) (Siemens pro Meter). Der Widerstand des Kabels kann mithilfe der Formel \(R = \frac{\ell}{\gamma \cdot A}\) berechnet werden, wobei \(R\) der Widerstand in Ohm, \(\ell\) die Länge des Kabels in Metern, \(\gamma\) die elektrische Leitfähigkeit in \(S/m\) und \(A\) der Querschnitt des Kabels in \(m^2\) ist.
Da maximal \(10\%\) Verlust zulässig ist, bedeutet das, dass der Widerstand des Kabels \(10\%\) des Gesamtwiderstands nicht überschreiten darf. Der Gesamtwiderstand des Systems beträgt \(32 \mathrm{Ohm}\), also darf der Widerstand des Kabels \(0,1 \cdot 32 \mathrm{Ohm} = 3,2 \mathrm{Ohm}\) nicht überschreiten.
Um die erforderliche Fläche zu berechnen, setzen wir den maximalen Widerstand und die Länge in die Widerstandsformel ein und lösen nach \(A\) auf:
\(
3,2 \mathrm{Ohm} = \frac{50 \mathrm{~m}}{56 \cdot 10^6 \, \mathrm{S/m} \cdot A}
\)
Somit:
\(
A = \frac{50}{3,2 \cdot 56 \cdot 10^6} \approx 2,79 \cdot 10^{-7} \, \mathrm{m^2} = 279 \, \mathrm{mm^2}
\)
Da diese Berechnung den Widerstand und die Querschnittsfläche direkt verbindet und unter der Annahme, dass der maximal zulässige Verlust gleichmäßig über die Kabellänge verteilt ist, zeigt das Ergebnis, dass ein sehr großer Kabelquerschnitt notwendig wäre, um den Verlust lediglich auf \(10\%\)
zu begrenzen. Hier scheint jedoch ein Fehler in der Berechnung vorzuliegen, da ein Querschnitt von \(279 \, \mathrm{mm^2}\) unrealistisch hoch ist. Tatsächlich ist bei der Berechnung vermutlich ein Rechen- oder Konzeptfehler unterlaufen, z.B. könnte ein Missverständnis darüber vorliegen, wie die \(10\%\) Verlust zu interpretieren sind (z.B. bezogen auf die Leistung statt auf den Widerstand, oder die Überlegung, dass Verluste in Abhängigkeit von der Gesamtleistung und nicht direkt des Widerstands betrachtet werden sollten). Normale Kabelquerschnitte für solche Anwendungen liegen typischerweise im Bereich von \(1,5 \, \mathrm{mm^2}\) bis \(2,5 \, \mathrm{mm^2}\) für übliche Lautsprecherkabel. Verluste werden mehr im Kontext der Leistungsübertragung und weniger über Widerstandsanpassungen minimiert.
